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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-4sin(x)+1=0

Lösung

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 1 = 0

Lösung

x = 0.27126 \dots + 2 πn, x = π - 0.27126 \dots + 2 πn

Grad

x = 15.54226 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 164.45773 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 1 = 0

Löse mit Substitution

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 1 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u^{2} - 4 u + 1 = 0

u^{2} - 4 u + 1 = 0 : u = 2 + 3, u = 2 - 3

u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 23

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} - 4

4^{2} = 16

= 16 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 4 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1} : 2 + 3

\frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 + 2 3}{2}

Faktorisiere

4 + 23 : 2 (2 + 3)

4 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 3)

= \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 3

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1} : 2 - 3

\frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 - 2 3}{2}

Faktorisiere

4 - 23 : 2 (2 - 3)

4 - 23

Schreibe um

= 2 \cdot 2 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 3)

= \frac{2 ( 2 - 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2 + 3, u = 2 - 3

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 2 + 3, sin (x) = 2 - 3

sin (x) = 2 + 3, sin (x) = 2 - 3

sin (x) = 2 + 3 :

Keine Lösung

sin (x) = 2 + 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = 2 - 3 : x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

sin (x) = 2 - 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = 2 - 3

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 2 - 3

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.27126 \dots + 2 πn, x = π - 0.27126 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6sin(2x)+2sin(x)=0

6 sin (2 x) + 2 sin (x) = 0

sin(θ)= 9/10

sin (θ) = \frac{9}{10}

tan(x)-sqrt(2)sin(x)=0

tan (x) - 2 sin (x) = 0

4sin(2t)=4cos(t)

4 sin (2 t) = 4 cos (t)

-2sin^2(x)+2cos(x)+2cos^2(x)=0

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0