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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-7=4sec(x)

Lösung

2 cos (x) - 7 = 4 sec (x)

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - 7 = 4 sec (x)

Subtrahiere

4 sec (x)

von beiden Seiten

2 cos (x) - 7 - 4 sec (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 7 + 2 cos (x) - 4 sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 7 + 2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} - 4 sec (x)

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{2}{sec ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ( x )}

= - 7 + \frac{2}{sec ( x )} - 4 sec (x)

- 7 + \frac{2}{sec ( x )} - 4 sec (x) = 0

Löse mit Substitution

- 7 + \frac{2}{sec ( x )} - 4 sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{4}

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 7 u + \frac{2}{u} u - 4 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

- 7 u + \frac{2}{u} u - 4 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2

Vereinfache

- 4 uu : - 4 u^{2}

- 4 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 4 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - 4 u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

Löse

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{4}

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 7, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

(- 7)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 9

(- 7)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 7)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 7^{2} + 32

7^{2} = 49

= 49 + 32

Addiere die Zahlen:

49 + 32 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 9}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 4 )} : - 2

\frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 + 9}{- 2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

7 + 9 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{16}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{8}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{8} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 - 9}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 9 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2, u = \frac{1}{4}

u = - 2, u = \frac{1}{4}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 2, u = \frac{1}{4}

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = - 2, sec (x) = \frac{1}{4}

sec (x) = - 2, sec (x) = \frac{1}{4}

sec (x) = - 2 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 2

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = \frac{1}{4} :

Keine Lösung

sec (x) = \frac{1}{4}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)-3=2sin(x)

sin^{2} (x) - 3 = 2 sin (x)

tan^2(x)-(sqrt(3)+1)tan(x)+sqrt(3)=0

tan^{2} (x) - (3 + 1) tan (x) + 3 = 0

6cos(θ)=3

6 cos (θ) = 3

4cos^3(x)=cos(x)

4 cos^{3} (x) = cos (x)

csc^5(θ)-4csc(θ)=0

csc^{5} (θ) - 4 csc (θ) = 0