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Beliebt Trigonometrie >

5sin^2(θ)-2sin(θ)=1

Lösung

5 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 1

Lösung

θ = 0.76134 \dots + 2 πn, θ = π - 0.76134 \dots + 2 πn, θ = - 0.29412 \dots + 2 πn, θ = π + 0.29412 \dots + 2 πn

Grad

θ = 43.62203 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 136.37796 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 16.85184 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 196.85184 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 1

Löse mit Substitution

5 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 1

Angenommen:

sin (θ) = u

5 u^{2} - 2 u = 1

5 u^{2} - 2 u = 1 : u = \frac{1 + 6}{5}, u = \frac{1 - 6}{5}

5 u^{2} - 2 u = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

5 u^{2} - 2 u = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

5 u^{2} - 2 u - 1 = 1 - 1

Vereinfache

5 u^{2} - 2 u - 1 = 0

5 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 1 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 1 )}{2 \cdot 5}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 5 (- 1) = 26

(- 2)^{2} - 4 \cdot 5 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 1 = 20

= 2^{2} + 20

2^{2} = 4

= 4 + 20

Addiere die Zahlen:

4 + 20 = 24

= 24

Primfaktorzerlegung von

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 6}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 6}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 6}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 6}{2 \cdot 5} : \frac{1 + 6}{5}

\frac{- ( - 2 ) + 2 6}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 6}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{2 + 2 6}{10}

Faktorisiere

2 + 26 : 2 (1 + 6)

2 + 26

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 6)

= \frac{2 ( 1 + 6 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 6}{5}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 6}{2 \cdot 5} : \frac{1 - 6}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 2 6}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 6}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{2 - 2 6}{10}

Faktorisiere

2 - 26 : 2 (1 - 6)

2 - 26

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 6)

= \frac{2 ( 1 - 6 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 6}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 6}{5}, u = \frac{1 - 6}{5}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1 + 6}{5}, sin (θ) = \frac{1 - 6}{5}

sin (θ) = \frac{1 + 6}{5}, sin (θ) = \frac{1 - 6}{5}

sin (θ) = \frac{1 + 6}{5} : θ = arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1 + 6}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{1 + 6}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1 + 6}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1 - 6}{5} : θ = arcsin (\frac{1 - 6}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 6}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1 - 6}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{1 - 6}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1 - 6}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1 - 6}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 6}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1 - 6}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 6}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1 + 6}{5}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{1 - 6}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 6}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.76134 \dots + 2 πn, θ = π - 0.76134 \dots + 2 πn, θ = - 0.29412 \dots + 2 πn, θ = π + 0.29412 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-8cos^2(θ)-4=-12

- 8 cos^{2} (θ) - 4 = - 12

sqrt(3)cos(x)+1=0

3 cos (x) + 1 = 0

1=cos^2(x)

1 = cos^{2} (x)

cos(2θ)+6sin^2(θ)=3

cos (2 θ) + 6 sin^{2} (θ) = 3

2sin(x)cos(x)=(sqrt(2))/2

2 sin (x) cos (x) = \frac{2}{2}