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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(θ)-2cos(θ)-1=0

Lösung

cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 1 = 0

Lösung

θ = 1.99787 \dots + 2 πn, θ = - 1.99787 \dots + 2 πn

Grad

θ = 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 1 = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

u^{2} - 2 u - 1 = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1 + 2, cos (θ) = 1 - 2

cos (θ) = 1 + 2, cos (θ) = 1 - 2

cos (θ) = 1 + 2 :

Keine Lösung

cos (θ) = 1 + 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 1 - 2 : θ = arccos (1 - 2) + 2 πn, θ = - arccos (1 - 2) + 2 πn

cos (θ) = 1 - 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = 1 - 2

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1 - 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (1 - 2) + 2 πn, θ = - arccos (1 - 2) + 2 πn

θ = arccos (1 - 2) + 2 πn, θ = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (1 - 2) + 2 πn, θ = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.99787 \dots + 2 πn, θ = - 1.99787 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=(9.5)/(6.4)

tan (θ) = \frac{9.5}{6.4}

sin(x+pi/3)-sin(x-pi/3)=0

sin (x + \frac{π}{3}) - sin (x - \frac{π}{3}) = 0

-tan(2x)+2sin(x)=0

- tan (2 x) + 2 sin (x) = 0

cos(2x)+cos(4x)=0

cos (2 x) + cos (4 x) = 0

2sin(x/3)=1

2 sin (\frac{x}{3}) = 1