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Beliebt Trigonometrie >

3cos(x)cot(x)+7=5csc(x)

Lösung

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

Lösung

x = 0.33983 \dots + 2 πn, x = π - 0.33983 \dots + 2 πn

Grad

x = 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 160.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

Subtrahiere

5 csc (x)

von beiden Seiten

3 cos (x) cot (x) + 7 - 5 csc (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

3 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 7 - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = 0

Vereinfache

3 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 7 - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5 + 7 sin ( x )}{sin ( x )}

3 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 7 - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

3 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{3 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

3 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \cdot 3 cos (x) = 3 cos^{2} (x)

cos (x) \cdot 3 cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 3 cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 3 cos^{2} (x)

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{5}{sin ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{sin ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{sin ( x )}

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} + 7 - \frac{5}{sin ( x )}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{3 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} - \frac{5}{sin ( x )} : \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5}{sin ( x )}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5}{sin ( x )} + 7

Wandle das Element in einen Bruch um:

7 = \frac{7 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5}{sin ( x )} + \frac{7 sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5 + 7 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - 5 + 7 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 cos^{2} (x) - 5 + 7 sin (x) = 0

Subtrahiere

7 sin (x)

von beiden Seiten

3 cos^{2} (x) - 5 = - 7 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} = (- 7 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(- 7 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - 49 sin^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - 49 sin^{2} (x) : (3 cos^{2} (x) - 5 + 7 sin (x)) (3 cos^{2} (x) - 5 - 7 sin (x))

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - 49 sin^{2} (x)

Schreibe

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - 49 sin^{2} (x)

um:

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - (7 sin (x))^{2}

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - 49 sin^{2} (x)

Schreibe

49

um:

7^{2}

= (3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - 7^{2} sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

7^{2} sin^{2} (x) = (7 sin (x))^{2}

= (3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - (7 sin (x))^{2}

= (3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - (7 sin (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 cos^{2} (x) - 5)^{2} - (7 sin (x))^{2} = ((3 cos^{2} (x) - 5) + 7 sin (x)) ((3 cos^{2} (x) - 5) - 7 sin (x))

= ((3 cos^{2} (x) - 5) + 7 sin (x)) ((3 cos^{2} (x) - 5) - 7 sin (x))

Fasse zusammen

= (3 cos^{2} (x) + 7 sin (x) - 5) (3 cos^{2} (x) - 7 sin (x) - 5)

(3 cos^{2} (x) - 5 + 7 sin (x)) (3 cos^{2} (x) - 5 - 7 sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

3 cos^{2} (x) - 5 + 7 sin (x) = 0 or 3 cos^{2} (x) - 5 - 7 sin (x) = 0

3 cos^{2} (x) - 5 + 7 sin (x) = 0 : x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

3 cos^{2} (x) - 5 + 7 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 3 cos^{2} (x) + 7 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 5 + 3 (1 - sin^{2} (x)) + 7 sin (x)

Vereinfache

- 5 + 3 (1 - sin^{2} (x)) + 7 sin (x) : 7 sin (x) - 3 sin^{2} (x) - 2

- 5 + 3 (1 - sin^{2} (x)) + 7 sin (x)

Multipliziere aus

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= - 5 + 3 - 3 sin^{2} (x) + 7 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 3 = - 2

= 7 sin (x) - 3 sin^{2} (x) - 2

= 7 sin (x) - 3 sin^{2} (x) - 2

- 2 - 3 sin^{2} (x) + 7 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 3 sin^{2} (x) + 7 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 - 3 u^{2} + 7 u = 0

- 2 - 3 u^{2} + 7 u = 0 : u = \frac{1}{3}, u = 2

- 2 - 3 u^{2} + 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = 7, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 2 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 2 )}{2 ( - 3 )}

7^{2} - 4 (- 3) (- 2) = 5

7^{2} - 4 (- 3) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 7^{2} - 24

7^{2} = 49

= 49 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 5}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 5}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 7 - 5}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 7 + 5}{2 ( - 3 )} : \frac{1}{3}

\frac{- 7 + 5}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 + 5}{- 2 \cdot 3}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{3}

u = \frac{- 7 - 5}{2 ( - 3 )} : 2

\frac{- 7 - 5}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 - 5}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 5 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 12}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{3}, u = 2

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{1}{3}, sin (x) = 2

sin (x) = \frac{1}{3}, sin (x) = 2

sin (x) = \frac{1}{3} : x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) = 2 :

Keine Lösung

sin (x) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

3 cos^{2} (x) - 5 - 7 sin (x) = 0 : x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

3 cos^{2} (x) - 5 - 7 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 3 cos^{2} (x) - 7 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 5 + 3 (1 - sin^{2} (x)) - 7 sin (x)

Vereinfache

- 5 + 3 (1 - sin^{2} (x)) - 7 sin (x) : - 3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) - 2

- 5 + 3 (1 - sin^{2} (x)) - 7 sin (x)

Multipliziere aus

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= - 5 + 3 - 3 sin^{2} (x) - 7 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 3 = - 2

= - 3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) - 2

= - 3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) - 2

- 2 - 3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 - 3 u^{2} - 7 u = 0

- 2 - 3 u^{2} - 7 u = 0 : u = - 2, u = - \frac{1}{3}

- 2 - 3 u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 7 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} - 7 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = - 7, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 2 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 2 )}{2 ( - 3 )}

(- 7)^{2} - 4 (- 3) (- 2) = 5

(- 7)^{2} - 4 (- 3) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 7^{2} - 24

7^{2} = 49

= 49 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 5}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 ( - 3 )} : - 2

\frac{- ( - 7 ) + 5}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 + 5}{- 2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

7 + 5 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{12}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 ( - 3 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 7 ) - 5}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 - 5}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 5 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 2, sin (x) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - 2, sin (x) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - 2 :

Keine Lösung

sin (x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - \frac{1}{3} : x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) cot (arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) + 7 = 5 csc (arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

15 = 15

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

ein, um zu lösen

3 cos (π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) cot (π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) + 7 = 5 csc (π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

15 = 15

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) cot (arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) + 7 = 5 csc (arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1 = - 15

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 cos (x) cot (x) + 7 = 5 csc (x)

ein, um zu lösen

3 cos (π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) cot (π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) + 7 = 5 csc (π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1 = - 15

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.33983 \dots + 2 πn, x = π - 0.33983 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-10sin(2x)=0

- 10 sin (2 x) = 0

sec(x)sin(x)-3sin(x)=0,0<= x<= 360

sec (x) sin (x) - 3 sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 36 0^{\circ}

4sin(x/2)-1=1

4 sin (\frac{x}{2}) - 1 = 1

3sec(θ)+6=0

3 sec (θ) + 6 = 0

sin(x)-sin(x)*cos(x)=0,0<= x<= 2pi

sin (x) - sin (x) \cdot cos (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π