English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

3sin(x)+4=5cos(x)

Решение

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

Решение

x = 0.27440 \dots + 2 πn, x = - 1.35524 \dots + 2 πn

Градусы

x = 15.72238 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 77.64989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

Возведите в квадрат обе части

(3 sin (x) + 4)^{2} = (5 cos (x))^{2}

Вычтите

(5 cos (x))^{2}

с обеих сторон

(3 sin (x) + 4)^{2} - 25 cos^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

(4 + 3 sin (x))^{2} - 25 cos^{2} (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (4 + 3 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

Упростите

(4 + 3 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x)) : 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

(4 + 3 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

(4 + 3 sin (x))^{2} : 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

Примените формулу полного квадрата:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 3 sin (x)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

Упростить

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2} : 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) = 24 sin (x)

2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x)

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 \cdot 3 = 24

= 24 sin (x)

(3 sin (x))^{2} = 9 sin^{2} (x)

(3 sin (x))^{2}

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (x)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 (1 - sin^{2} (x))

Расширить

- 25 (1 - sin^{2} (x)) : - 25 + 25 sin^{2} (x)

- 25 (1 - sin^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) sin^{2} (x)

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 sin^{2} (x)

Перемножьте числа:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Упростить

16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x) : 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) + 16 - 25

Добавьте похожие элементы:

9 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) = 34 sin^{2} (x)

= 24 sin (x) + 34 sin^{2} (x) + 16 - 25

Прибавьте/Вычтите числа:

16 - 25 = - 9

= 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

= 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

= 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

- 9 + 24 sin (x) + 34 sin^{2} (x) = 0

Решитe подстановкой

- 9 + 24 sin (x) + 34 sin^{2} (x) = 0

Допустим:

sin (x) = u

- 9 + 24 u + 34 u^{2} = 0

- 9 + 24 u + 34 u^{2} = 0 : u = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, u = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

- 9 + 24 u + 34 u^{2} = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

34 u^{2} + 24 u - 9 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

34 u^{2} + 24 u - 9 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 34, b = 24, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 \cdot 34 ( - 9 )}{2 \cdot 34}

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 \cdot 34 ( - 9 )}{2 \cdot 34}

2 4^{2} - 4 \cdot 34 (- 9) = 302

2 4^{2} - 4 \cdot 34 (- 9)

Примените правило

- (- a) = a

= 2 4^{2} + 4 \cdot 34 \cdot 9

Перемножьте числа:

4 \cdot 34 \cdot 9 = 1224

= 2 4^{2} + 1224

2 4^{2} = 576

= 576 + 1224

Добавьте числа:

576 + 1224 = 1800

= 1800

Первичное разложение на множители

1800 : 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

1800

1800

делится на

21800 = 900 \cdot 2

= 2 \cdot 900

900

делится на

2900 = 450 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 450

450

делится на

2450 = 225 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 225

225

делится на

3225 = 75 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 75

75

делится на

375 = 25 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25

25

делится на

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2

Примените правило радикалов:

= 2 2^{2} 3^{2} 5^{2}

Примените правило радикалов:

2^{2} = 2

= 22 3^{2} 5^{2}

Примените правило радикалов:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32 5^{2}

Примените правило радикалов:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 3 \cdot 52

Уточнить

= 302

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 30 2}{2 \cdot 34}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 24 + 30 2}{2 \cdot 34}, u_{2} = \frac{- 24 - 30 2}{2 \cdot 34}

u = \frac{- 24 + 30 2}{2 \cdot 34} : \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

\frac{- 24 + 30 2}{2 \cdot 34}

Перемножьте числа:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 24 + 30 2}{68}

коэффициент

- 24 + 302 : 6 (- 4 + 52)

- 24 + 302

Перепишите как

= - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 52

Убрать общее значение

6

= 6 (- 4 + 52)

= \frac{6 ( - 4 + 5 2 )}{68}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

u = \frac{- 24 - 30 2}{2 \cdot 34} : - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

\frac{- 24 - 30 2}{2 \cdot 34}

Перемножьте числа:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 24 - 30 2}{68}

коэффициент

- 24 - 302 : - 6 (4 + 52)

- 24 - 302

Перепишите как

= - 6 \cdot 4 - 6 \cdot 52

Убрать общее значение

6

= - 6 (4 + 52)

= - \frac{6 ( 4 + 5 2 )}{68}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, u = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34} : x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Примените обратные тригонометрические свойства

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Общие решения для

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34} : x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Примените обратные тригонометрические свойства

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Общие решения для

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Объедините все решения

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn :

Верно

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

Для

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

подключите

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1)

Уточнить

4.81292 \dots = 4.81292 \dots

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn :

Неверно

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

Для

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

подключите

x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1)

Уточнить

4.81292 \dots = - 4.81292 \dots

\Rightarrow Неверно

Проверьте решение

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn :

Верно

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

Для

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

подключите

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1)

Уточнить

1.06942 \dots = 1.06942 \dots

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn :

Неверно

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

Для

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

подключите

x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1)

Уточнить

1.06942 \dots = - 1.06942 \dots

\Rightarrow Неверно

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 0.27440 \dots + 2 πn, x = - 1.35524 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры