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人気のある三角関数 >

2sin(x)-cos(x)=1

解

2 sin (x) - cos (x) = 1

解

x = π + 2 πn, x = 0.92729 \dots + 2 πn

+1

度

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

2 sin (x) - cos (x) = 1

両辺に

cos (x)

を足す

2 sin (x) = 1 + cos (x)

両辺を2乗する

(2 sin (x))^{2} = (1 + cos (x))^{2}

両辺から

(1 + cos (x))^{2}

を引く

4 sin^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) - cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

拡張

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

簡素化

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1 + 4

類似した元を足す:

- cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 5 cos^{2} (x)

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 + 4

数を足す/引く:

- 1 + 4 = 3

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

3 - 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

3 - 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{3}{5}

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

解くとthe二次式

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 5, b = - 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3 = 8

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3

規則を適用

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

数を乗じる:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

数を足す:

4 + 60 = 64

= 64

数を因数に分解する:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 ( - 5 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 8}{- 2 \cdot 5}

数を足す:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 5}

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{- 10}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )} : \frac{3}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 8}{- 2 \cdot 5}

数を引く:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 5}

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{- 10}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{10}

共通因数を約分する:

2

= \frac{3}{5}

二次equationの解:

u = - 1, u = \frac{3}{5}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

以下の一般解

cos (x) = - 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{3}{5}

以下の一般解

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = π + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

2 sin (x) - cos (x) = 1

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

π + 2 πn :

真

π + 2 πn

挿入

n = 1

π + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 1

の挿入向け

x = π + 2 π 1

2 sin (π + 2 π 1) - cos (π + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 1

の挿入向け

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) - cos (arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 1

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) - cos (2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

改良

- 2.2 = 1

\Rightarrow 偽

x = π + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = π + 2 πn, x = 0.92729 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sin(2θ)+cos(2θ)=1

sin (2 θ) + cos (2 θ) = 1

2cos^2(x)-sin(x)+1=0

2 cos^{2} (x) - sin (x) + 1 = 0

7 csc (x) - 3 = 11

2 cos^{3} (x) - 1 = 0

sin (x) = - \frac{5}{6}