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Beliebt Trigonometrie >

5sec(θ)-2sec^2(θ)=tan^2(θ)-1

Lösung

5 sec (θ) - 2 sec^{2} (θ) = tan^{2} (θ) - 1

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sec (θ) - 2 sec^{2} (θ) = tan^{2} (θ) - 1

Subtrahiere

tan^{2} (θ) - 1

von beiden Seiten

5 sec (θ) - 2 sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - tan^{2} (θ) - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 1 - (sec^{2} (θ) - 1) - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ)

Vereinfache

1 - (sec^{2} (θ) - 1) - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ) : 5 sec (θ) - 3 sec^{2} (θ) + 2

1 - (sec^{2} (θ) - 1) - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ)

- (sec^{2} (θ) - 1) : - sec^{2} (θ) + 1

- (sec^{2} (θ) - 1)

Setze Klammern

= - (sec^{2} (θ)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - sec^{2} (θ) + 1

= 1 - sec^{2} (θ) + 1 - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ)

Vereinfache

1 - sec^{2} (θ) + 1 - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ) : 5 sec (θ) - 3 sec^{2} (θ) + 2

1 - sec^{2} (θ) + 1 - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sec^{2} (θ) - 2 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ) + 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

- sec^{2} (θ) - 2 sec^{2} (θ) = - 3 sec^{2} (θ)

= - 3 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ) + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 5 sec (θ) - 3 sec^{2} (θ) + 2

= 5 sec (θ) - 3 sec^{2} (θ) + 2

= 5 sec (θ) - 3 sec^{2} (θ) + 2

2 - 3 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 - 3 sec^{2} (θ) + 5 sec (θ) = 0

Angenommen:

sec (θ) = u

2 - 3 u^{2} + 5 u = 0

2 - 3 u^{2} + 5 u = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = 2

2 - 3 u^{2} + 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 5 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} + 5 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = 5, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

5^{2} - 4 (- 3) \cdot 2 = 7

5^{2} - 4 (- 3) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Addiere die Zahlen:

25 + 24 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- 5 + 7}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 7}{- 2 \cdot 3}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 3 )} : 2

\frac{- 5 - 7}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 7}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 12}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3}, u = 2

Setze in

u = sec (θ)

ein

sec (θ) = - \frac{1}{3}, sec (θ) = 2

sec (θ) = - \frac{1}{3}, sec (θ) = 2

sec (θ) = - \frac{1}{3} :

Keine Lösung

sec (θ) = - \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (θ) = 2 : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)+cos(x)=0,(0,2pi)

cos (2 x) + cos (x) = 0, (0, 2 π)

sqrt(3)*sin(x/2)+cos(x)=1

3 \cdot sin (\frac{x}{2}) + cos (x) = 1

sin(2x)= 2/3

sin (2 x) = \frac{2}{3}

3sin(x)+2cos(x)=1

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

(3cos(2x)+7sin(x)-5)/(9cos^2(x)-5)=0

\frac{3 cos ( 2 x ) + 7 sin ( x ) - 5}{9 cos ^{2} ( x ) - 5} = 0