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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(3)*sin(x/2)+cos(x)=1

Lösung

3 \cdot sin (\frac{x}{2}) + cos (x) = 1

Lösung

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{4 π}{3} + 4 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (\frac{x}{2}) + cos (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 sin (\frac{x}{2}) + cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

3 sin (u) + cos (2 u) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 u) + sin (u) 3

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (u) + 3 sin (u)

Vereinfache

= 3 sin (u) - 2 sin^{2} (u)

- 2 sin^{2} (u) + sin (u) 3 = 0

Löse mit Substitution

- 2 sin^{2} (u) + sin (u) 3 = 0

Angenommen:

sin (u) = u

- 2 u^{2} + u 3 = 0

- 2 u^{2} + u 3 = 0 : u = 0, u = \frac{3}{2}

- 2 u^{2} + u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 3 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm ( 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm ( 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 3

(3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 3 + 0

Addiere die Zahlen:

3 + 0 = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 3}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 3 + 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 + 3 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 3 - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{3}{2}

\frac{- 3 - 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 - 3 = - 23

= \frac{- 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 3}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = 0, sin (u) = \frac{3}{2}

sin (u) = 0, sin (u) = \frac{3}{2}

sin (u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (u) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

Löse

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = \frac{3}{2} : u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (u) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (u) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{2 π}{3} + 2 πn

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = 2 πn : x = 4 πn

\frac{x}{2} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 4 πn

x = 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn : x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{2 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere

2 \cdot \frac{π}{3} : \frac{2 π}{3}

2 \cdot \frac{π}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{3}

= \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + 2 πn : x = \frac{4 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{4 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

2 \cdot \frac{2 π}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 π 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{4 π}{3} + 4 πn

x = \frac{4 π}{3} + 4 πn

x = \frac{4 π}{3} + 4 πn

x = \frac{4 π}{3} + 4 πn

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{4 π}{3} + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)= 2/3

sin (2 x) = \frac{2}{3}

3sin(x)+2cos(x)=1

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

(3cos(2x)+7sin(x)-5)/(9cos^2(x)-5)=0

\frac{3 cos ( 2 x ) + 7 sin ( x ) - 5}{9 cos ^{2} ( x ) - 5} = 0

2tan(x)-3cot(x)=1

2 tan (x) - 3 cot (x) = 1

8sin^2(x)-10sin(x)+3=0

8 sin^{2} (x) - 10 sin (x) + 3 = 0