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Popular Trigonometría >

(tan(x))/(sec(x))=cot(x)

Solución

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

Solución

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Grados

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

Restar

cot (x)

de ambos lados

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} - cot (x) = 0

Simplificar

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} - cot (x) : \frac{tan ( x ) - cot ( x ) sec ( x )}{sec ( x )}

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} - cot (x)

Convertir a fracción:

cot (x) = \frac{cot ( x ) sec ( x )}{sec ( x )}

= \frac{tan ( x )}{sec ( x )} - \frac{cot ( x ) sec ( x )}{sec ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( x ) - cot ( x ) sec ( x )}{sec ( x )}

\frac{tan ( x ) - cot ( x ) sec ( x )}{sec ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (x) - cot (x) sec (x) = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} = 0

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1}{sin ( x ) cos ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (x)

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Mínimo común múltiplo de

cos (x), sin (x) : cos (x) sin (x)

cos (x), sin (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (x)

sin (x)

= cos (x) sin (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Para

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} - \frac{cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Sumar

cos (x)

a ambos lados

sin^{2} (x) = cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(sin^{2} (x))^{2} = cos^{2} (x)

Restar

cos^{2} (x)

de ambos lados

sin^{4} (x) - cos^{2} (x) = 0

Factorizar

sin^{4} (x) - cos^{2} (x) : (sin^{2} (x) + cos (x)) (sin^{2} (x) - cos (x))

sin^{4} (x) - cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = (sin^{2} (x) + cos (x)) (sin^{2} (x) - cos (x))

= (sin^{2} (x) + cos (x)) (sin^{2} (x) - cos (x))

(sin^{2} (x) + cos (x)) (sin^{2} (x) - cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin^{2} (x) + cos (x) = 0 or sin^{2} (x) - cos (x) = 0

sin^{2} (x) + cos (x) = 0 : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) + cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (x) + sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 + u - u^{2} = 0

1 + u - u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 + u - u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} + u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Sumar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) - cos (x) = 0 : x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos (x) + sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - u - u^{2} = 0

1 - u - u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

1 - u - u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} - u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Sumar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 5 = - (5 - 1)

= \frac{5 - 1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{5 - 1}{2} : x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Multiplicar

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

por

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

\frac{tan ( arccos ( - \frac{- 1 + 5}{2} ) + 2 π 1 )}{sec ( arccos ( - \frac{- 1 + 5}{2} ) + 2 π 1 )} = cot (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

0.78615 \dots = - 0.78615 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Multiplicar

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

por

x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

\frac{tan ( - arccos ( - \frac{- 1 + 5}{2} ) + 2 π 1 )}{sec ( - arccos ( - \frac{- 1 + 5}{2} ) + 2 π 1 )} = cot (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.78615 \dots = 0.78615 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 π 1

Multiplicar

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

por

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 π 1

\frac{tan ( arccos ( \frac{5 - 1}{2} ) + 2 π 1 )}{sec ( arccos ( \frac{5 - 1}{2} ) + 2 π 1 )} = cot (arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

0.78615 \dots = 0.78615 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn :

Verdadero

2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 π 1

Multiplicar

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

por

x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 π 1

\frac{tan ( 2 π - arccos ( \frac{5 - 1}{2} ) + 2 π 1 )}{sec ( 2 π - arccos ( \frac{5 - 1}{2} ) + 2 π 1 )} = cot (2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.78615 \dots = - 0.78615 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(7x)+cos(3x)=0

cos (7 x) + cos (3 x) = 0

5sin^2(x)+2sin(x)=0

5 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

cos(2x)-11cos(x)+6=0

cos (2 x) - 11 cos (x) + 6 = 0

sin(x)=-0.45

sin (x) = - 0.45

sin(x)=-0.59

sin (x) = - 0.59