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Beliebt Trigonometrie >

-2cos(x)+4cos(2x)=0

Lösung

- 2 cos (x) + 4 cos (2 x) = 0

Lösung

x = 0.56782 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.56782 \dots + 2 πn, x = 2.20566 \dots + 2 πn, x = - 2.20566 \dots + 2 πn

Grad

x = 32.53422 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 327.46577 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 126.37519 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 126.37519 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 2 cos (x) + 4 cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 cos (x) + 4 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1)

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 4 - 2 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 4 - 2 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 - 2 u = 0

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 - 2 u = 0 : u = \frac{1 + 33}{8}, u = \frac{1 - 33}{8}

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 - 2 u = 0

Schreibe

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 - 2 u

um:

- 4 + 8 u^{2} - 2 u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 - 2 u

= 4 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u

Multipliziere aus

4 (- 1 + 2 u^{2}) : - 4 + 8 u^{2}

4 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 4 (- 1) + 4 \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 u^{2} : - 4 + 8 u^{2}

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= - 4 + 8 u^{2}

= - 4 + 8 u^{2}

= - 4 + 8 u^{2} - 2 u

- 4 + 8 u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} - 2 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} - 2 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = - 2, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 4 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 4 )}{2 \cdot 8}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 8 (- 4) = 233

(- 2)^{2} - 4 \cdot 8 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 4 = 128

= 2^{2} + 128

2^{2} = 4

= 4 + 128

Addiere die Zahlen:

4 + 128 = 132

= 132

Primfaktorzerlegung von

132 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 11

132

132

ist durch

2132 = 66 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 66

66

ist durch

266 = 33 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 33

33

ist durch

333 = 11 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11

2, 3, 11

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 11

Fasse zusammen

= 233

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 33}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 33}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 33}{2 \cdot 8}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 33}{2 \cdot 8} : \frac{1 + 33}{8}

\frac{- ( - 2 ) + 2 33}{2 \cdot 8}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 33}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{2 + 2 33}{16}

Faktorisiere

2 + 233 : 2 (1 + 33)

2 + 233

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 233

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 33)

= \frac{2 ( 1 + 33 )}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 33}{8}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 33}{2 \cdot 8} : \frac{1 - 33}{8}

\frac{- ( - 2 ) - 2 33}{2 \cdot 8}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 33}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{2 - 2 33}{16}

Faktorisiere

2 - 233 : 2 (1 - 33)

2 - 233

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 233

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 33)

= \frac{2 ( 1 - 33 )}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 33}{8}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 33}{8}, u = \frac{1 - 33}{8}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 33}{8}, cos (x) = \frac{1 - 33}{8}

cos (x) = \frac{1 + 33}{8}, cos (x) = \frac{1 - 33}{8}

cos (x) = \frac{1 + 33}{8} : x = arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 33}{8}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 33}{8}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 33}{8}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 33}{8} : x = arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 33}{8}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 33}{8}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 33}{8}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 33}{8}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 33}{8}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.56782 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.56782 \dots + 2 πn, x = 2.20566 \dots + 2 πn, x = - 2.20566 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(A)= 1/2

cos (A) = \frac{1}{2}

tan(x)=csc(x)

tan (x) = csc (x)

0=1-sqrt(2)sin(x)

0 = 1 - 2 sin (x)

3csc(x)=6

3 csc (x) = 6

solvefor θ,x=sin(θ)

so l v e f or θ, x = sin (θ)