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Populaire Trigonométrie >

tan(x)=csc(x)

Solution

tan (x) = csc (x)

Solution

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Degrés

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan (x) = csc (x)

Soustraire

csc (x)

des deux côtés

tan (x) - csc (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

- csc (x) + tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( x )} + tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplifier

- \frac{1}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

- \frac{1}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Plus petit commun multiple de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin (x)

ou dans

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin (x) cos (x)

Pour

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Pour

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (x) + sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos (x) + sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

1 - u - u^{2} = 0

1 - u - u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

1 - u - u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- u^{2} - u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Additionner les nombres :

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 ( - 1 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 5 = - (5 - 1)

= \frac{5 - 1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = \frac{5 - 1}{2} : x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

0=1-sqrt(2)sin(x)

3csc(x)=6

solvefor θ,x=sin(θ)

-12-3tan(θ)=-12+sqrt(3)

12cosh(2x)+7sinh(x)-24=0