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Populaire Trigonométrie >

sqrt(2)sin(x)+sqrt(2)cos(x)=1

Solution

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

Solution

x = 1.83259 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.26179 \dots + 2 πn

Degrés

x = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 34 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

Soustraire

2 cos (x)

des deux côtés

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(2 sin (x))^{2} = (1 - 2 cos (x))^{2}

Soustraire

(1 - 2 cos (x))^{2}

des deux côtés

2 sin^{2} (x) - 1 + 22 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) 2

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) 2

Simplifier

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) 2 : 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) 2

= - 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 22 cos (x)

Développer

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= - 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2

Simplifier

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2 : 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 2 - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2

Grouper comme termes

= - 2 cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) + 22 cos (x) - 1 + 2

Additionner les éléments similaires :

- 2 cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = - 4 cos^{2} (x)

= - 4 cos^{2} (x) + 22 cos (x) - 1 + 2

Additionner/Soustraire les nombres :

- 1 + 2 = 1

= 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

1 - 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2 = 0

Résoudre par substitution

1 - 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2 = 0

Soit :

cos (x) = u

1 - 4 u^{2} + 2 u 2 = 0

1 - 4 u^{2} + 2 u 2 = 0 : u = - \frac{- 2 + 6}{4}, u = \frac{2 + 6}{4}

1 - 4 u^{2} + 2 u 2 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 22 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 4 u^{2} + 22 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 4, b = 22, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

(22)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 26

(22)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (22)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

(22)^{2} = 2^{3}

(22)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 2^{3}

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{3} + 16

2^{3} = 8

= 8 + 16

Additionner les nombres :

8 + 16 = 24

= 24

Factorisation première de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

divisée par

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

= 2^{2} 2 \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Redéfinir

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm 2 6}{2 ( - 4 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 2 + 2 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 2 - 2 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 2 + 2 6}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 2 + 6}{4}

\frac{- 2 2 + 2 6}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 2 + 2 6}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 2 + 2 6}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 2 + 2 6}{8}

Annuler

\frac{- 2 2 + 2 6}{8} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{- 2 2 + 2 6}{8}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( - 2 + 6 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{- 2 + 6}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{- 2 + 6}{4}

u = \frac{- 2 2 - 2 6}{2 ( - 4 )} : \frac{2 + 6}{4}

\frac{- 2 2 - 2 6}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 2 - 2 6}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 2 - 2 6}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 22 - 26 = - (22 + 26)

= \frac{2 2 + 2 6}{8}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( 2 + 6 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 + 6}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{- 2 + 6}{4}, u = \frac{2 + 6}{4}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}, cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}, cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4} : x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 + 6}{4} : x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn :

vrai

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

insérer

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

2 sin (arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 1

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn :

Faux

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

insérer

x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

2 sin (- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 1

Redéfinir

- 1.73205 \dots = 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Faux

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

insérer

x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 1

Redéfinir

1.73205 \dots = 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

vrai

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 1

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 1

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.83259 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.26179 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin(θ)sec(θ)-sin(θ)=0

r=2acos(x)

tan(t)=-1/(sqrt(3)),-pi<t<= pi

sin(x)=(-4)/5

-5cos^2(x)+4cos(x)+1=0