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Populaire Trigonométrie >

8sin(x)=sqrt(41-40cos(x))

Solution

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

Solution

x = 1.94286 \dots + 2 πn, x = 0.15153 \dots + 2 πn

Degrés

x = 111.31781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 8.68218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(8 sin (x))^{2} = (41 - 40 cos (x))^{2}

Soustraire

41 - 40 cos (x)^{2}

des deux côtés

64 sin^{2} (x) - 41 + 40 cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 41 + 40 cos (x) + 64 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

- 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

- 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

Développer

64 (1 - cos^{2} (x)) : 64 - 64 cos^{2} (x)

64 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (x)

= - 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

Simplifier

- 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

- 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) - 41 + 64

Additionner/Soustraire les nombres :

- 41 + 64 = 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

23 + 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

23 + 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, u = \frac{5 + 3 13}{16}

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 64 u^{2} + 40 u + 23 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 64 u^{2} + 40 u + 23 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 64, b = 40, c = 23

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 23}{2 ( - 64 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 23}{2 ( - 64 )}

4 0^{2} - 4 (- 64) \cdot 23 = 2413

4 0^{2} - 4 (- 64) \cdot 23

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 4 0^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 23

Multiplier les nombres :

4 \cdot 64 \cdot 23 = 5888

= 4 0^{2} + 5888

4 0^{2} = 1600

= 1600 + 5888

Additionner les nombres :

1600 + 5888 = 7488

= 7488

Factorisation première de

7488 : 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

7488

7488

divisée par

27488 = 3744 \cdot 2

= 2 \cdot 3744

3744

divisée par

23744 = 1872 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 1872

1872

divisée par

21872 = 936 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 936

936

divisée par

2936 = 468 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 468

468

divisée par

2468 = 234 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 234

234

divisée par

2234 = 117 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 117

117

divisée par

3117 = 39 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 39

39

divisée par

339 = 13 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13

2, 3, 13

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

Appliquer la règle des radicaux:

= 13 2^{6} 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 313

Redéfinir

= 2413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 24 13}{2 ( - 64 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )}

u = \frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )} : - \frac{- 5 + 3 13}{16}

\frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 24 13}{- 2 \cdot 64}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 64 = 128

= \frac{- 40 + 24 13}{- 128}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 40 + 24 13}{128}

Annuler

\frac{- 40 + 24 13}{128} : \frac{3 13 - 5}{16}

\frac{- 40 + 24 13}{128}

Factoriser

- 40 + 2413 : 8 (- 5 + 313)

- 40 + 2413

Récrire comme

= - 8 \cdot 5 + 8 \cdot 313

Factoriser le terme commun

8

= 8 (- 5 + 313)

= \frac{8 ( - 5 + 3 13 )}{128}

Annuler le facteur commun :

8

= \frac{- 5 + 3 13}{16}

= - \frac{3 13 - 5}{16}

= - \frac{- 5 + 3 13}{16}

u = \frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )} : \frac{5 + 3 13}{16}

\frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 24 13}{- 2 \cdot 64}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 64 = 128

= \frac{- 40 - 24 13}{- 128}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 2413 = - (40 + 2413)

= \frac{40 + 24 13}{128}

Factoriser

40 + 2413 : 8 (5 + 313)

40 + 2413

Récrire comme

= 8 \cdot 5 + 8 \cdot 313

Factoriser le terme commun

8

= 8 (5 + 313)

= \frac{8 ( 5 + 3 13 )}{128}

Annuler le facteur commun :

8

= \frac{5 + 3 13}{16}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, u = \frac{5 + 3 13}{16}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16} : x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16} : x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

vrai

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Pour

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

insérer

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Redéfinir

7.45262 \dots = 7.45262 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

Faux

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Pour

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

insérer

x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Redéfinir

- 7.45262 \dots = 7.45262 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Pour

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

insérer

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Redéfinir

1.20762 \dots = 1.20762 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Pour

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Redéfinir

- 1.20762 \dots = 1.20762 \dots

\Rightarrow Faux

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.94286 \dots + 2 πn, x = 0.15153 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

2sin^2(x)+9sin(x)+4=0