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Popular Trigonometria >

cos(2x)=sec(x)

Solução

cos (2 x) = sec (x)

Solução

x = 2 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (2 x) = sec (x)

Subtrair

sec (x)

de ambos os lados

cos (2 x) - sec (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (2 x) - sec (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (2 x) - \frac{1}{cos ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1 - \frac{1}{cos ( x )}

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= - u

Simplificar

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= - 1

Simplificar

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Resolver

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Fatorar

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Os divisores de

a_{0} : 1,

Os divisores de

a_{n} : 1, 2

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u^{3} - u - 1

e o divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Subtrair

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - u - 1

para obter um novo resto

Resto = 2 u^{2} - u - 1

Portanto

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u^{2} - u - 1

e o divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quociente = 2 u

Multiplicar

u - 1

por

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Subtrair

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - u - 1

para obter um novo resto

Resto = u - 1

Portanto

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u - 1

e o divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quociente = 1

Multiplicar

u - 1

por

1 : u - 1

Subtrair

u - 1

u - 1

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Somar/subtrair:

- 4 + 8 = 4

= 4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Fatorar

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Reescrever

\frac{- 1 + i}{2}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Fatorar

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Reescrever

- \frac{1 + i}{2}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Remover os parênteses:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

As soluções são

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluções gerais para

cos (x) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

3cos^2(x)-6cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 6 cos (x) + 3 = 0

14sin(x+pi/2)+21tan(pi-x)=0

14 sin (x + \frac{π}{2}) + 21 tan (π - x) = 0

8cos^3(x)=8cos(x)

8 cos^{3} (x) = 8 cos (x)

4cos(2θ)=cos^2(θ)-2

4 cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - 2

2cos^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) + sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π