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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)=sec(x)

Solution

cos (2 x) = sec (x)

Solution

x = 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (2 x) = sec (x)

Soustraire

sec (x)

des deux côtés

cos (2 x) - sec (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (2 x) - sec (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (2 x) - \frac{1}{cos ( x )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1 - \frac{1}{cos ( x )}

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplifier

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplifier

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplier:

1 \cdot u = u

= - u

Simplifier

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 1

Simplifier

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Résoudre

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Factoriser

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1, 2

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Diviser

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

2 u^{3} - u - 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quotient = 2 u^{2}

Multiplier

u - 1

par

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Soustraire

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u^{2} - u - 1

Par conséquent

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Diviser

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

2 u^{2} - u - 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multiplier

u - 1

par

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Soustraire

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = u - 1

Par conséquent

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Diviser

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Diviser les coefficients directeurs

u - 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multiplier

u - 1

par

1 : u - 1

Soustraire

u - 1

u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Résoudre

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplifier

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 8 = 4

= 4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Factoriser

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Récrire

\frac{- 1 + i}{2}

sous la forme complexe standard :

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Factoriser

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Factoriser le terme commun

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1 + i}{2}

Récrire

- \frac{1 + i}{2}

sous la forme complexe standard :

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Les solutions sont

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn

Graphe

Exemples populaires

3cos^2(x)-6cos(x)+3=0

14sin(x+pi/2)+21tan(pi-x)=0

8cos^3(x)=8cos(x)

4cos(2θ)=cos^2(θ)-2

2cos^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi