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provar tan^2(x)-tan^2(x)sin^2(x)=sin^2(x)

Solução

provar

tan^{2} (x) - tan^{2} (x) sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

tan^{2} (x) - tan^{2} (x) sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

Manipular o lado direito

tan^{2} (x) - tan^{2} (x) sin^{2} (x)

Fatorar

tan^{2} (x) - sin^{2} (x) tan^{2} (x) : tan^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

tan^{2} (x) - sin^{2} (x) tan^{2} (x)

Fatorar o termo comum

tan^{2} (x)

= tan^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

= (1 - sin^{2} (x)) tan^{2} (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(1 - sin^{2} (x)) tan^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) tan^{2} (x)

= cos^{2} (x) tan^{2} (x)

Expresar com seno, cosseno

cos^{2} (x) tan^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos^{2} (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Simplificar

cos^{2} (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : sin^{2} (x)

cos^{2} (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos^{2} (x)

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e csc (2 x) = \frac{csc ( x )}{2 cos ( x )}

p ro v e \frac{1 - tan ( x )}{1 + tan ( x )} = \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

p ro v e csch^{2} (x) = coth^{2} (x) - 1

p ro v e \frac{tan ( y )}{csc ( y )} = \frac{1}{cos ( y )} - \frac{1}{sec ( y )}

p ro v e 2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}