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beweisen (sec^2(θ))/(tan(θ))=sec(θ)csc(θ)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{tan ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2} cos ( θ )}{sin ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )} cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) : \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( θ )}}{sin ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ( θ ) \frac{1}{c s c ( θ )}}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( θ )}}

Multipliziere

\frac{1}{sec ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ( θ )} : \frac{1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

\frac{1}{sec ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ ) c s c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (θ) csc (θ)

sec (θ) csc (θ)

sec (θ) csc (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (x) + tan (x) sin (x) = sec (x)

p ro v e sin^{4} (y) - cos^{4} (y) = 1 - 2 cos^{2} (y)

p ro v e 1 - sin^{2} (- θ) = cos^{2} (θ)

p ro v e tan (θ) csc^{2} (θ) - tan (θ) = cot (θ)

p ro v e cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos (α) cos (β)