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prouver csc^2(x/2)= 2/(1-cos(x))

Solution

prouver

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

vrai

étapes des solutions

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

Soit :

u = \frac{x}{2}

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Prouver que

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )} :

vrai

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

En manipulant le côté droit

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Simplifier

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )} : \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Développer

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

Simplifier

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

Appliquer la règle

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Par conséquent

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e \frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1 = tan^{2} (θ)

p ro v e csc (θ) cos^{2} (θ) + sin (θ) = csc (θ)

p ro v e sec (θ + \frac{π}{2}) = csc (θ)

p ro v e \frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ) = cos (θ)

p ro v e sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}