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beweisen cos(2θ)=1-2sin^2(θ)

Lösung

beweisen

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (2 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 θ)

Schreibe um

= cos (θ + θ)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + s) = cos (s) cos (s) - sin (s) sin (s)

= cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ)

Vereinfache

cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ) : cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

cos^{2} (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Vereinfache

1 - sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) : 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = - 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )} = tan (x) sec (x)

p ro v e sin (3 x) = (sin (x)) (3 - 4 sin^{2} (x))

p ro v e cos (3 a) = 4 cos^{3} (a) - 3 cos (a)

p ro v e 2 cos (x) sin (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

p ro v e \frac{tan ( 2 x ) + cot ( 2 x )}{csc ( 2 x )} = sec (2 x)