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beweisen csc(u)-sin(u)=cos(u)cot(u)

Lösung

beweisen

csc (u) - sin (u) = cos (u) cot (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (u) - sin (u) = cos (u) cot (u)

Manipuliere die linke Seite

csc (u) - sin (u)

Drücke mit sin, cos aus

csc (u) - sin (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( u )} - sin (u)

Vereinfache

\frac{1}{sin ( u )} - sin (u) : \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )}

\frac{1}{sin ( u )} - sin (u)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (u) = \frac{sin ( u ) sin ( u )}{sin ( u )}

= \frac{1}{sin ( u )} - \frac{sin ( u ) sin ( u )}{sin ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( u ) sin ( u )}{sin ( u )}

1 - sin (u) sin (u) = 1 - sin^{2} (u)

1 - sin (u) sin (u)

sin (u) sin (u) = sin^{2} (u)

sin (u) sin (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (u) sin (u) = sin^{1 + 1} (u)

= sin^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (u)

= 1 - sin^{2} (u)

= \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= cos (u) \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cos (u) cot (u)

cos (u) cot (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{csc ( x ) sec ( x )} = tan (x)

p ro v e cot (- a) cos (- a) + sin (- a) = - csc (a)

p ro v e 2 cos (x) tan (x) csc (x) = 2

p ro v e sec^{2} (y) - cot^{2} (\frac{π}{2} - y) = 1

p ro v e sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x) = sin (x)