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beweisen ((1+tan(θ)))/(1+cot(θ))=tan(θ)

Lösung

beweisen

\frac{( 1 + tan ( θ ) )}{1 + cot ( θ )} = tan (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ( θ )}{1 + cot ( θ )} = tan (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ( θ )}{1 + cot ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ( θ )}{1 + cot ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + cot ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}} : \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Füge

1 + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ( θ ) + cos ( θ )}{sin ( θ )}

1 + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( θ ) + cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) + cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{s i n ( θ ) + c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Füge

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{s i n ( θ ) + c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) sin ( θ )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + cos ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ) + sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e - sin^{2} (x) = cos^{2} (x) - 1

p ro v e \frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} - cot (A) = csc (A)

p ro v e (tan (x) + cot (x))^{2} = csc^{2} (x) sec^{2} (x)

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

p ro v e sin (\frac{3 π}{2} - x) = - cos (x)