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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sin(A))/(1-cos(A))-cot(A)=csc(A)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} - cot (A) = csc (A)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} - cot (A) = csc (A)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} - cot (A)

Drücke mit sin, cos aus

- cot (A) + \frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )}

Vereinfache

- \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} : \frac{- cos ( A ) ( - cos ( A ) + 1 ) + sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

- \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (A), 1 - cos (A) : sin (A) (- cos (A) + 1)

sin (A), 1 - cos (A)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (A)

oder

1 - cos (A)

auftauchen.

= sin (A) (- cos (A) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (A) (- cos (A) + 1)

Für

\frac{cos ( A )}{sin ( A )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- cos (A) + 1

\frac{cos ( A )}{sin ( A )} = \frac{cos ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

Für

\frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (A)

\frac{sin ( A )}{1 - cos ( A )} = \frac{sin ( A ) sin ( A )}{( 1 - cos ( A ) ) sin ( A )} = \frac{sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

= - \frac{cos ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )} + \frac{sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( A ) ( - cos ( A ) + 1 ) + sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

= \frac{- cos ( A ) ( - cos ( A ) + 1 ) + sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

= \frac{sin ^{2} ( A ) - ( 1 - cos ( A ) ) cos ( A )}{( 1 - cos ( A ) ) sin ( A )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( A ) - ( 1 - cos ( A ) ) cos ( A )}{( 1 - cos ( A ) ) sin ( A )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( A ) - ( 1 - cos ( A ) ) cos ( A )}{( 1 - cos ( A ) ) sin ( A )}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( A ) - ( 1 - cos ( A ) ) cos ( A )}{( 1 - cos ( A ) ) sin ( A )} : \frac{1}{sin ( A )}

\frac{1 - cos ^{2} ( A ) - ( 1 - cos ( A ) ) cos ( A )}{( 1 - cos ( A ) ) sin ( A )}

Multipliziere aus

1 - cos^{2} (A) - (1 - cos (A)) cos (A) : - cos (A) + 1

1 - cos^{2} (A) - (1 - cos (A)) cos (A)

= 1 - cos^{2} (A) - cos (A) (1 - cos (A))

Multipliziere aus

- cos (A) (1 - cos (A)) : - cos (A) + cos^{2} (A)

- cos (A) (1 - cos (A))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - cos (A), b = 1, c = cos (A)

= - cos (A) \cdot 1 - (- cos (A)) cos (A)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot cos (A) + cos (A) cos (A)

Vereinfache

- 1 \cdot cos (A) + cos (A) cos (A) : - cos (A) + cos^{2} (A)

- 1 \cdot cos (A) + cos (A) cos (A)

1 \cdot cos (A) = cos (A)

1 \cdot cos (A)

Multipliziere:

1 \cdot cos (A) = cos (A)

= cos (A)

cos (A) cos (A) = cos^{2} (A)

cos (A) cos (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (A) cos (A) = cos^{1 + 1} (A)

= cos^{1 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (A)

= - cos (A) + cos^{2} (A)

= - cos (A) + cos^{2} (A)

= 1 - cos^{2} (A) - cos (A) + cos^{2} (A)

Vereinfache

1 - cos^{2} (A) - cos (A) + cos^{2} (A) : - cos (A) + 1

1 - cos^{2} (A) - cos (A) + cos^{2} (A)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (A) - cos (A) + cos^{2} (A) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (A) + cos^{2} (A) = 0

= - cos (A) + 1

= - cos (A) + 1

= \frac{- cos ( A ) + 1}{sin ( A ) ( - cos ( A ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- cos (A) + 1

= \frac{1}{sin ( A )}

= \frac{1}{sin ( A )}

= \frac{1}{sin ( A )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( A )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( A )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( A )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (A)

csc (A)

csc (A)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (tan(x)+cot(x))^2=csc^2(x)sec^2(x)

p ro v e (tan (x) + cot (x))^{2} = csc^{2} (x) sec^{2} (x)

beweisen tan(θ/2)=(sin(θ))/(1+cos(θ))

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

beweisen sin((3pi)/2-x)=-cos(x)

p ro v e sin (\frac{3 π}{2} - x) = - cos (x)

beweisen sin(x)sec(x)= 1/(cot(x))

p ro v e sin (x) sec (x) = \frac{1}{cot ( x )}

beweisen (1-cos(2x))/2 =sin^2(x)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 x )}{2} = sin^{2} (x)