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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin(3A)=3sin(A)-4sin^3(A)

Lösung

beweisen

sin (3 A) = 3 sin (A) - 4 sin^{3} (A)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (3 A) = 3 sin (A) - 4 sin^{3} (A)

Manipuliere die linke Seite

sin (3 A)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (3 A)

Schreibe um

= sin (2 A + A)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 A) cos (A) + cos (2 A) sin (A)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A)

= cos (2 A) sin (A) + cos (A) 2 sin (A) cos (A)

Vereinfache

cos (2 A) sin (A) + cos (A) \cdot 2 sin (A) cos (A) : sin (A) cos (2 A) + 2 cos^{2} (A) sin (A)

cos (2 A) sin (A) + cos (A) 2 sin (A) cos (A)

cos (A) \cdot 2 sin (A) cos (A) = 2 cos^{2} (A) sin (A)

cos (A) 2 sin (A) cos (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (A) cos (A) = cos^{1 + 1} (A)

= 2 sin (A) cos^{1 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin (A) cos^{2} (A)

= sin (A) cos (2 A) + 2 cos^{2} (A) sin (A)

= sin (A) cos (2 A) + 2 cos^{2} (A) sin (A)

= sin (A) cos (2 A) + 2 cos^{2} (A) sin (A)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 A) = 1 - 2 sin^{2} (A)

= (1 - 2 sin^{2} (A)) sin (A) + 2 cos^{2} (A) sin (A)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (A) + sin^{2} (A) = 1

cos^{2} (A) = 1 - sin^{2} (A)

= (1 - 2 sin^{2} (A)) sin (A) + 2 (1 - sin^{2} (A)) sin (A)

Multipliziere aus

(1 - 2 sin^{2} (A)) sin (A) + 2 (1 - sin^{2} (A)) sin (A) : - 4 sin^{3} (A) + 3 sin (A)

(1 - 2 sin^{2} (A)) sin (A) + 2 (1 - sin^{2} (A)) sin (A)

= sin (A) (1 - 2 sin^{2} (A)) + 2 sin (A) (1 - sin^{2} (A))

Multipliziere aus

sin (A) (1 - 2 sin^{2} (A)) : sin (A) - 2 sin^{3} (A)

sin (A) (1 - 2 sin^{2} (A))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (A), b = 1, c = 2 sin^{2} (A)

= sin (A) 1 - sin (A) 2 sin^{2} (A)

= 1 sin (A) - 2 sin^{2} (A) sin (A)

Vereinfache

1 \cdot sin (A) - 2 sin^{2} (A) sin (A) : sin (A) - 2 sin^{3} (A)

1 sin (A) - 2 sin^{2} (A) sin (A)

1 \cdot sin (A) = sin (A)

1 sin (A)

Multipliziere:

1 \cdot sin (A) = sin (A)

= sin (A)

2 sin^{2} (A) sin (A) = 2 sin^{3} (A)

2 sin^{2} (A) sin (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (A) sin (A) = sin^{2 + 1} (A)

= 2 sin^{2 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (A)

= sin (A) - 2 sin^{3} (A)

= sin (A) - 2 sin^{3} (A)

= sin (A) - 2 sin^{3} (A) + 2 (1 - sin^{2} (A)) sin (A)

Multipliziere aus

2 sin (A) (1 - sin^{2} (A)) : 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A)

2 sin (A) (1 - sin^{2} (A))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (A), b = 1, c = sin^{2} (A)

= 2 sin (A) 1 - 2 sin (A) sin^{2} (A)

= 2 \cdot 1 sin (A) - 2 sin^{2} (A) sin (A)

Vereinfache

2 \cdot 1 \cdot sin (A) - 2 sin^{2} (A) sin (A) : 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A)

2 \cdot 1 sin (A) - 2 sin^{2} (A) sin (A)

2 \cdot 1 \cdot sin (A) = 2 sin (A)

2 \cdot 1 sin (A)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (A)

2 sin^{2} (A) sin (A) = 2 sin^{3} (A)

2 sin^{2} (A) sin (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (A) sin (A) = sin^{2 + 1} (A)

= 2 sin^{2 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (A)

= 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A)

= 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A)

= sin (A) - 2 sin^{3} (A) + 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A)

Vereinfache

sin (A) - 2 sin^{3} (A) + 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A) : - 4 sin^{3} (A) + 3 sin (A)

sin (A) - 2 sin^{3} (A) + 2 sin (A) - 2 sin^{3} (A)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin^{3} (A) - 2 sin^{3} (A) + sin (A) + 2 sin (A)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{3} (A) - 2 sin^{3} (A) = - 4 sin^{3} (A)

= - 4 sin^{3} (A) + sin (A) + 2 sin (A)

Addiere gleiche Elemente:

sin (A) + 2 sin (A) = 3 sin (A)

= - 4 sin^{3} (A) + 3 sin (A)

= - 4 sin^{3} (A) + 3 sin (A)

= - 4 sin^{3} (A) + 3 sin (A)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cot^4(x)+cot^2(x)=cot^2(x)csc^2(x)

p ro v e cot^{4} (x) + cot^{2} (x) = cot^{2} (x) csc^{2} (x)

beweisen cot^3(x)=cot(x)(csc^2(x)-1)

p ro v e cot^{3} (x) = cot (x) (csc^{2} (x) - 1)

beweisen sin(2a)=(2tan(a))/(1+tan^2(a))

p ro v e sin (2 a) = \frac{2 tan ( a )}{1 + tan ^{2} ( a )}

beweisen tan(x)=((1-cos(2x)))/(sin(2x))

p ro v e tan (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{sin ( 2 x )}

beweisen sin^2(a)-cos^2(a)=1-2cos^2(a)

p ro v e sin^{2} (a) - cos^{2} (a) = 1 - 2 cos^{2} (a)