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beweisen ((cos^2(x)))/(1-sin(x))=1+sin(x)

Lösung

beweisen

\frac{( cos ^{2} ( x ) )}{1 - sin ( x )} = 1 + sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )} = 1 + sin (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )}

Vereinfache

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )} : sin (x) + 1

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )}

Faktorisiere

1 - sin^{2} (x) : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

1 - sin^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{1 - sin ( x )}

Streiche

- \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{1 - sin ( x )} : sin (x) + 1

- \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{1 - sin ( x )}

- sin (x) + 1 = - (sin (x) - 1)

= - \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{- ( sin ( x ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ( x ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x) - 1

= sin (x) + 1

= sin (x) + 1

= sin (x) + 1

= sin (x) + 1

= 1 + sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (3 x) = sin (x) (3 - 4 sin^{2} (x))

p ro v e 1 + sec (θ) tan (θ) sin (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e cos^{2} (a) + sin^{2} (a) = 1

p ro v e csc (x) sin (\frac{π}{2} - x) = cot (x)

p ro v e cos (4 θ) = 2 (cos (2 θ))^{2} - 1