English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove ((sec(θ)-tan(θ))^2+1)/(csc(θ)(sec(θ)-tan(θ)))=2tan(θ)

פתרון

prove

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{csc ( θ ) ( sec ( θ ) - tan ( θ ) )} = 2 tan (θ)

פתרון

נכון

צעדי פתרון

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{csc ( θ ) ( sec ( θ ) - tan ( θ ) )} = 2 tan (θ)

עבוד על אגף שמאל

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{csc ( θ ) ( sec ( θ ) - tan ( θ ) )}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) csc ( θ )}

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - tan ( θ ) ) csc ( θ )}

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) csc ( θ )}

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

פשט את:

\frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

אחד את השברים:

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

אחד את השברים:

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

(a) = a

:הסר סוגריים

= \frac{( \frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{\frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ )} \cdot \frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

הכפל ב:

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

:הכפל שברים

= \frac{( 1 - sin ( θ ) ) \cdot 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

(1 - sin (θ)) \cdot 1 = 1 - sin (θ)

(1 - sin (θ)) \cdot 1

(1 - sin (θ)) \cdot 1 = (1 - sin (θ)) :

הכפל

= (1 - sin (θ))

(a) = a

:הסר סוגריים

= 1 - sin (θ)

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{\frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ ) s i n ( θ )}}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{\frac{( - s i n ( θ ) + 1 ) ^{2}}{c o s ^{2} ( θ )} + 1}{\frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ ) s i n ( θ )}}

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{( \frac{( 1 - s i n ( θ ) ) ^{2}}{c o s ^{2} ( θ )} + 1 ) cos ( θ ) sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} + 1

אחד את:

\frac{( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} + 1

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ) :

הכפל

= \frac{( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + ( - s i n ( θ ) + 1 ) ^{2}}{c o s ^{2} ( θ )} cos ( θ ) sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) sin (θ)

הכפל ב:

\frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) sin (θ)

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ ) ) cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

cos (θ) :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ ) ( c o s ^{2} ( θ ) + ( - s i n ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{c o s ( θ )}}{1 - sin ( θ )}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}

= \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}

= \frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Rewrite using trig identities

\frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

\frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

פשט את:

\frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

(1 - sin (θ))^{2} + 1 - sin^{2} (θ)

הרחב את:

- 2 sin (θ) + 2

(1 - sin (θ))^{2} + 1 - sin^{2} (θ)

(1 - sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

:הפעל נוסחת הכפל המקוצר

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

פשט את:

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - sin^{2} (θ)

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - sin^{2} (θ)

פשט את:

- 2 sin (θ) + 2

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - sin^{2} (θ)

קבץ ביטויים דומים יחד

= - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) + 1 + 1

sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0 :

חבר איברים דומים

= - 2 sin (θ) + 1 + 1

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= - 2 sin (θ) + 2

= - 2 sin (θ) + 2

= \frac{sin ( θ ) ( - 2 sin ( θ ) + 2 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

- 2 sin (θ) + 2

פרק לגורמים את:

2 (- sin (θ) + 1)

- 2 sin (θ) + 2

כתוב מחדש בתור

= - 2 sin (θ) + 2 \cdot 1

2

הוצא את הגורם המשותף

= 2 (- sin (θ) + 1)

= \frac{2 ( - sin ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

- sin (θ) + 1 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

Rewrite using trig identities

= 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

:Use the basic trigonometric identity

2 tan (θ)

2 tan (θ)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove 2csc(2x)=sec(x)csc(x)

p ro v e 2 csc (2 x) = sec (x) csc (x)

prove tan(x/2)=(sin(x))/(cos(x)+1)

p ro v e tan (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) + 1}

prove (1-cos(θ))(1+sec(θ))=sin(θ)tan(θ)

p ro v e (1 - cos (θ)) (1 + sec (θ)) = sin (θ) tan (θ)

prove tan(2t)=2sin(t)cos(t)sec(2t)

p ro v e tan (2 t) = 2 sin (t) cos (t) sec (2 t)

prove tan^3(x)-tan(x)sec^2(x)=tan(-x)

p ro v e tan^{3} (x) - tan (x) sec^{2} (x) = tan (- x)