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beweisen cos(2β)=(1-tan^2(β))/(1+tan^2(β))

Lösung

beweisen

cos (2 β) = \frac{1 - tan ^{2} ( β )}{1 + tan ^{2} ( β )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 β) = \frac{1 - tan ^{2} ( β )}{1 + tan ^{2} ( β )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( β )}{1 + tan ^{2} ( β )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( β )}{1 + tan ^{2} ( β )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( β )}{c o s ( β )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

1 + \frac{sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )} + \frac{sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (β) = cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}{\frac{c o s ^{2} ( β ) + s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

1 - \frac{sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )} - \frac{sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (β) = cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( β ) - s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}{\frac{c o s ^{2} ( β ) + s i n ^{2} ( β )}{c o s ^{2} ( β )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β ) ) cos ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β ) ( cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}

= \frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}

= \frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( β ) - sin ^{2} ( β )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (β) - sin^{2} (β)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 β)

= cos (2 β)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (π + x) = tan (x)

p ro v e tan (A) = tan (A) csc^{2} (A) + cot (- A)

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( x )} = (sec (x) - tan (x)) sec (x)

p ro v e tan (a) + cot (a) = \frac{2}{sin ( 2 a )}

p ro v e \frac{1 + sin ( α )}{cos ( α )} = \frac{cos ( α )}{1 - sin ( α )}