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Popular Trigonometria >

provar sec^2(B)-csc^2(B)=(tan(B)-cot(B))/(sin(B)cos(B))

Solução

provar

sec^{2} (B) - csc^{2} (B) = \frac{tan ( B ) - cot ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

sec^{2} (B) - csc^{2} (B) = \frac{tan ( B ) - cot ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{tan ( B ) - cot ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{- cot ( B ) + tan ( B )}{cos ( B ) sin ( B )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + tan ( B )}{cos ( B ) sin ( B )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + \frac{s i n ( B )}{c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )}

Simplificar

\frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + \frac{s i n ( B )}{c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )} : \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

\frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + \frac{s i n ( B )}{c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )}

Simplificar

- \frac{cos ( B )}{sin ( B )} + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

em uma fração:

\frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

- \frac{cos ( B )}{sin ( B )} + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (B), cos (B) : sin (B) cos (B)

sin (B), cos (B)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (B)

quanto em

cos (B)

= sin (B) cos (B)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( B )}{sin ( B )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (B)

\frac{cos ( B )}{sin ( B )} = \frac{cos ( B ) cos ( B )}{sin ( B ) cos ( B )} = \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Para

\frac{sin ( B )}{cos ( B )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (B)

\frac{sin ( B )}{cos ( B )} = \frac{sin ( B ) sin ( B )}{cos ( B ) sin ( B )} = \frac{sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

= - \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )} + \frac{sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( B ) + s i n ^{2} ( B )}{s i n ( B ) c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B ) cos ( B ) sin ( B )}

sin (B) cos (B) cos (B) sin (B) = cos^{2} (B) sin^{2} (B)

sin (B) cos (B) cos (B) sin (B)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (B) cos (B) = cos^{1 + 1} (B)

= sin (B) cos^{1 + 1} (B) sin (B)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin (B) cos^{2} (B) sin (B)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (B) sin (B) = sin^{1 + 1} (B)

= cos^{2} (B) sin^{1 + 1} (B)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (B) sin^{2} (B)

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{cos ^{2} ( B ) ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( B )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

= \frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2} \frac{1}{s e c ^{2} ( B )}}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( B )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

= \frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( B )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( B )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

= \frac{- \frac{1}{s e c ^{2} ( B )} + \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}

Multiplicar

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( B )} : \frac{1}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

= \frac{- \frac{1}{s e c ^{2} ( B )} + \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B ) c s c ^{2} ( B )}}

Simplificar

- \frac{1}{sec ^{2} ( B )} + \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

em uma fração:

\frac{- csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

- \frac{1}{sec ^{2} ( B )} + \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Mínimo múltiplo comum de

sec^{2} (B), csc^{2} (B) : sec^{2} (B) csc^{2} (B)

sec^{2} (B), csc^{2} (B)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sec^{2} (B)

quanto em

csc^{2} (B)

= sec^{2} (B) csc^{2} (B)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} :

multiplique o numerador e o denominador por

csc^{2} (B)

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} = \frac{1 \cdot csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )} = \frac{csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Para

\frac{1}{csc ^{2} ( B )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sec^{2} (B)

\frac{1}{csc ^{2} ( B )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B ) sec ^{2} ( B )} = \frac{sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

= - \frac{csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )} + \frac{sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

= \frac{\frac{- c s c ^{2} ( B ) + s e c ^{2} ( B )}{s e c ^{2} ( B ) c s c ^{2} ( B )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B ) c s c ^{2} ( B )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B ) ) sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B ) \cdot 1}

Simplificar

= \frac{( - csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B ) ) sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Eliminar o fator comum:

sec^{2} (B)

= - \frac{( - csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B ) ) csc ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B )}

Eliminar o fator comum:

csc^{2} (B)

= - - csc^{2} (B) + sec^{2} (B)

- csc^{2} (B) + sec^{2} (B)

- csc^{2} (B) + sec^{2} (B)

= sec^{2} (B) - csc^{2} (B)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 2+sec(a)cos(a)=3

p ro v e 2 + sec (a) cos (a) = 3

provar 5cos^2(θ)+2sin^2(θ)=3cos^2(θ)+2

p ro v e 5 cos^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 3 cos^{2} (θ) + 2

provar (sec(a))/(tan(a)+cot(a))=sin(a)

p ro v e \frac{sec ( a )}{tan ( a ) + cot ( a )} = sin (a)

provar sin((9pi)/2+x)=cos(x)

p ro v e sin (\frac{9 π}{2} + x) = cos (x)

provar cos^4(β)-sin^4(β)=cos(2β)

p ro v e cos^{4} (β) - sin^{4} (β) = cos (2 β)