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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sec^2(B)-csc^2(B)=(tan(B)-cot(B))/(sin(B)cos(B))

Lösung

beweisen

sec^{2} (B) - csc^{2} (B) = \frac{tan ( B ) - cot ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (B) - csc^{2} (B) = \frac{tan ( B ) - cot ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{tan ( B ) - cot ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- cot ( B ) + tan ( B )}{cos ( B ) sin ( B )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + tan ( B )}{cos ( B ) sin ( B )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + \frac{s i n ( B )}{c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )}

Vereinfache

\frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + \frac{s i n ( B )}{c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )} : \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

\frac{- \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} + \frac{s i n ( B )}{c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )}

Füge

- \frac{cos ( B )}{sin ( B )} + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

- \frac{cos ( B )}{sin ( B )} + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (B), cos (B) : sin (B) cos (B)

sin (B), cos (B)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (B)

oder

cos (B)

auftauchen.

= sin (B) cos (B)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (B) cos (B)

Für

\frac{cos ( B )}{sin ( B )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (B)

\frac{cos ( B )}{sin ( B )} = \frac{cos ( B ) cos ( B )}{sin ( B ) cos ( B )} = \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Für

\frac{sin ( B )}{cos ( B )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (B)

\frac{sin ( B )}{cos ( B )} = \frac{sin ( B ) sin ( B )}{cos ( B ) sin ( B )} = \frac{sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

= - \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )} + \frac{sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( B ) + s i n ^{2} ( B )}{s i n ( B ) c o s ( B )}}{cos ( B ) sin ( B )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{sin ( B ) cos ( B ) cos ( B ) sin ( B )}

sin (B) cos (B) cos (B) sin (B) = cos^{2} (B) sin^{2} (B)

sin (B) cos (B) cos (B) sin (B)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (B) cos (B) = cos^{1 + 1} (B)

= sin (B) cos^{1 + 1} (B) sin (B)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin (B) cos^{2} (B) sin (B)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (B) sin (B) = sin^{1 + 1} (B)

= cos^{2} (B) sin^{1 + 1} (B)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (B) sin^{2} (B)

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + sin ^{2} ( B )}{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{cos ^{2} ( B ) ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( B )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

= \frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2} \frac{1}{s e c ^{2} ( B )}}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( B )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

= \frac{- ( \frac{1}{s e c ( B )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( B )} ) ^{2}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sec ( B )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( B )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( B )}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

(\frac{1}{csc ( B )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( B )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

= \frac{- \frac{1}{s e c ^{2} ( B )} + \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}

Multipliziere

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( B )} : \frac{1}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

= \frac{- \frac{1}{s e c ^{2} ( B )} + \frac{1}{c s c ^{2} ( B )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B ) c s c ^{2} ( B )}}

Füge

- \frac{1}{sec ^{2} ( B )} + \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

zusammen:

\frac{- csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

- \frac{1}{sec ^{2} ( B )} + \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sec^{2} (B), csc^{2} (B) : sec^{2} (B) csc^{2} (B)

sec^{2} (B), csc^{2} (B)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sec^{2} (B)

oder

csc^{2} (B)

auftauchen.

= sec^{2} (B) csc^{2} (B)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sec^{2} (B) csc^{2} (B)

Für

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

csc^{2} (B)

\frac{1}{sec ^{2} ( B )} = \frac{1 \cdot csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )} = \frac{csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Für

\frac{1}{csc ^{2} ( B )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec^{2} (B)

\frac{1}{csc ^{2} ( B )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B ) sec ^{2} ( B )} = \frac{sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

= - \frac{csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )} + \frac{sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

= \frac{\frac{- c s c ^{2} ( B ) + s e c ^{2} ( B )}{s e c ^{2} ( B ) c s c ^{2} ( B )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( B ) c s c ^{2} ( B )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B ) ) sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B ) \cdot 1}

Fasse zusammen

= \frac{( - csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B ) ) sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}{sec ^{2} ( B ) csc ^{2} ( B )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec^{2} (B)

= - \frac{( - csc ^{2} ( B ) + sec ^{2} ( B ) ) csc ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

csc^{2} (B)

= - - csc^{2} (B) + sec^{2} (B)

- csc^{2} (B) + sec^{2} (B)

- csc^{2} (B) + sec^{2} (B)

= sec^{2} (B) - csc^{2} (B)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 2+sec(a)cos(a)=3

p ro v e 2 + sec (a) cos (a) = 3

beweisen 5cos^2(θ)+2sin^2(θ)=3cos^2(θ)+2

p ro v e 5 cos^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 3 cos^{2} (θ) + 2

beweisen (sec(a))/(tan(a)+cot(a))=sin(a)

p ro v e \frac{sec ( a )}{tan ( a ) + cot ( a )} = sin (a)

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p ro v e sin (\frac{9 π}{2} + x) = cos (x)

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