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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(135+a)=(tan(a)-1)/(tan(a)+1)

Lösung

beweisen

tan (13 5^{\circ} + a) = \frac{tan ( a ) - 1}{tan ( a ) + 1}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (13 5^{\circ} + a) = \frac{tan ( a ) - 1}{tan ( a ) + 1}

Manipuliere die linke Seite

tan (13 5^{\circ} + a)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (13 5^{\circ} + a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} + a )}{cos ( 13 5 ^{\circ} + a )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}{cos ( 13 5 ^{\circ} + a )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}

Vereinfache

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )} : - \frac{cos ( a ) - sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}

sin (13 5^{\circ}) cos (a) + cos (13 5^{\circ}) sin (a) = \frac{2}{2} cos (a) - \frac{2}{2} sin (a)

sin (13 5^{\circ}) cos (a) + cos (13 5^{\circ}) sin (a)

Vereinfache

sin (13 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (a) + cos (13 5^{\circ}) sin (a)

Vereinfache

cos (13 5^{\circ}) : - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (a) - \frac{2}{2} sin (a)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( a ) - \frac{2}{2} sin ( a )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( a ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( a )}

cos (13 5^{\circ}) cos (a) - sin (13 5^{\circ}) sin (a) = - \frac{2}{2} cos (a) - \frac{2}{2} sin (a)

cos (13 5^{\circ}) cos (a) - sin (13 5^{\circ}) sin (a)

Vereinfache

cos (13 5^{\circ}) : - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2} cos (a) - sin (13 5^{\circ}) sin (a)

Vereinfache

sin (13 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2} cos (a) - \frac{2}{2} sin (a)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( a ) - \frac{2}{2} sin ( a )}{- \frac{2}{2} cos ( a ) - \frac{2}{2} sin ( a )}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (a) : \frac{2 cos ( a )}{2}

\frac{2}{2} cos (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( a )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( a ) - \frac{2}{2} sin ( a )}{- \frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2}{2} sin ( a )}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (a) : \frac{2 sin ( a )}{2}

\frac{2}{2} sin (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( a )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( a ) - \frac{2}{2} sin ( a )}{- \frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2 s i n ( a )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (a) : \frac{2 cos ( a )}{2}

\frac{2}{2} cos (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( a )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2}{2} sin ( a )}{- \frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2 s i n ( a )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (a) : \frac{2 sin ( a )}{2}

\frac{2}{2} sin (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( a )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2 s i n ( a )}{2}}{- \frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2 s i n ( a )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{2 cos ( a )}{2} - \frac{2 sin ( a )}{2} : \frac{- 2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( a )}{2} - \frac{2 s i n ( a )}{2}}{\frac{- 2 c o s ( a ) - 2 s i n ( a )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( a )}{2} - \frac{2 sin ( a )}{2} : \frac{2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( a ) - 2 s i n ( a )}{2}}{\frac{- 2 c o s ( a ) - 2 s i n ( a )}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( a ) - 2 sin ( a ) ) \cdot 2}{2 ( - 2 cos ( a ) - 2 sin ( a ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}{- 2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( cos ( a ) - sin ( a ) )}{- 2 cos ( a ) - 2 sin ( a )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= - \frac{2 ( cos ( a ) - sin ( a ) )}{2 ( cos ( a ) + sin ( a ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{cos ( a ) - sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

= - \frac{cos ( a ) - sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

= - \frac{cos ( a ) - sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

= \frac{- ( cos ( a ) - sin ( a ) )}{cos ( a ) + sin ( a )}

Vereinfache

= \frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{tan ( a ) - 1}{tan ( a ) + 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + tan ( a )}{1 + tan ( a )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}}{1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}}{1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}} : \frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

\frac{- 1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}}{1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}}

Füge

1 + \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

zusammen:

\frac{cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a )}

1 + \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( a )}{cos ( a )}

= \frac{1 \cdot cos ( a )}{cos ( a )} + \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (a) = cos (a)

= \frac{cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a )}

= \frac{- 1 + \frac{s i n ( a )}{c o s ( a )}}{\frac{c o s ( a ) + s i n ( a )}{c o s ( a )}}

Füge

- 1 + \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

zusammen:

\frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a )}

- 1 + \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( a )}{cos ( a )}

= - \frac{1 \cdot cos ( a )}{cos ( a )} + \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (a) = cos (a)

= \frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a )}

= \frac{\frac{- c o s ( a ) + s i n ( a )}{c o s ( a )}}{\frac{c o s ( a ) + s i n ( a )}{c o s ( a )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ( a ) + sin ( a ) ) cos ( a )}{cos ( a ) ( cos ( a ) + sin ( a ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (a)

= \frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

= \frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

= \frac{- cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) + sin ( a )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (1-cos^2(A))(1+cot^2(A))=1

p ro v e (1 - cos^{2} (A)) (1 + cot^{2} (A)) = 1

beweisen 4cos^2(x)+cos(2x)=5-6sin^2(x)

p ro v e 4 cos^{2} (x) + cos (2 x) = 5 - 6 sin^{2} (x)

beweisen (sin^2(2x))/4 =sin^2(x)cos^2(x)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( 2 x )}{4} = sin^{2} (x) cos^{2} (x)

beweisen (sec(θ))/(tan(θ)+cot(θ))=sin(θ)

p ro v e \frac{sec ( θ )}{tan ( θ ) + cot ( θ )} = sin (θ)

beweisen (sin(2x))/(cos(2x)+sin^2(x))=2tan(x)

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x ) + sin ^{2} ( x )} = 2 tan (x)