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受欢迎的三角函数 >

证明 sin(x)+cos(x)=sqrt(2)sin(x+pi/4)

解答

证明

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

解答

真

求解步骤

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

调整右侧

2 sin (x + \frac{π}{4})

使用三角恒等式改写

sin (x + \frac{π}{4})

使用角和恒等式:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (\frac{π}{4}) + cos (x) sin (\frac{π}{4})

化简

sin (x) cos (\frac{π}{4}) + cos (x) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4}) + cos (x) sin (\frac{π}{4})

sin (x) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4})

化简

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4})

化简

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x )}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= 2 \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

化简

2 \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2} : sin (x) + cos (x)

2 \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) 2}{2}

消掉

\frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) 2}{2} : \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

\frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) 2}{2}

使用根式运算法则:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) )}{2}

使用指数法则:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

数字相减:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

使用根式运算法则:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

因式分解出通项

2

= \frac{2 ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{2}

约分:

2

= sin (x) + cos (x)

= sin (x) + cos (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 (sin(t))cot(t)=cos(t)

p ro v e (sin (t)) cot (t) = cos (t)

证明 cos(θ)=sqrt(1-sin^2(θ))

p ro v e cos (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

证明 (cot^3(t))/(csc(t))=cos(t)cot^2(t)

p ro v e \frac{cot ^{3} ( t )}{csc ( t )} = cos (t) cot^{2} (t)

证明 tan(pi/2-θ)sin(θ)=cos(θ)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) sin (θ) = cos (θ)

证明 sin((5pi)/3)=-(sqrt(3))/2

p ro v e sin (\frac{5 π}{3}) = - \frac{3}{2}