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beweisen cos(2v)=(1-tan^2(v))/(1+tan^2(v))

Lösung

beweisen

cos (2 v) = \frac{1 - tan ^{2} ( v )}{1 + tan ^{2} ( v )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 v) = \frac{1 - tan ^{2} ( v )}{1 + tan ^{2} ( v )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( v )}{1 + tan ^{2} ( v )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( v )}{1 + tan ^{2} ( v )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

1 + \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )} + \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (v) = cos^{2} (v)

= \frac{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}{\frac{c o s ^{2} ( v ) + s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

1 - \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )} - \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (v) = cos^{2} (v)

= \frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( v ) - s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}{\frac{c o s ^{2} ( v ) + s i n ^{2} ( v )}{c o s ^{2} ( v )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v ) ) cos ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v ) ( cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (v)

= \frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}

= \frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}

= \frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v ) + sin ^{2} ( v )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (v) - sin^{2} (v)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 v)

= cos (2 v)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (A) = \frac{1}{csc ( A )}

p ro v e \frac{9}{tan ( x )} + \frac{9}{cot ( x )} = 9 tan (x) + 9 cot (x)

p ro v e sin (2 x) cos (2 x) = 4 sin (x) cos (x)

p ro v e sin (\frac{π}{6} + x) = cos (\frac{π}{3} - x)

p ro v e (1 + cos (2 θ)) (1 - cos (2 θ)) = sin^{2} (2 θ)