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beweisen sec^2(θ)-1=(tan(θ))/(cot(θ))

Lösung

beweisen

sec^{2} (θ) - 1 = \frac{tan ( θ )}{cot ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (θ) - 1 = \frac{tan ( θ )}{cot ( θ )}

Manipuliere die linke Seite

sec^{2} (θ) - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + sec^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{tan ( θ )}{cot ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{tan ( θ )}{cot ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{cot ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Vereinfache

\frac{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}} : \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) cos ( θ )}

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (x) = \frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( x ^{2} )}

p ro v e sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) = 2 tan^{2} (θ) + 1

p ro v e cos (- \frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{4})

p ro v e sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

p ro v e tan (2 x) cos (2 x) = sin (2 x)