zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

证明 sec^4(θ)-tan^4(θ)=2tan^2(θ)+1

解答

证明

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) = 2 tan^{2} (θ) + 1

解答

真

求解步骤

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) = 2 tan^{2} (θ) + 1

调整左侧

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

分解

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) : (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

将

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

改写为

(sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2}

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sec^{4} (θ) = (sec^{2} (θ))^{2}

= (sec^{2} (θ))^{2} - tan^{4} (θ)

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

tan^{4} (θ) = (tan^{2} (θ))^{2}

= (sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2}

= (sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2} = (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ))

= (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ))

分解

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) : (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) = (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

= (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ))

使用三角恒等式改写

(sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ))

使用毕达哥拉斯恒等式:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (tan^{2} (θ) + 1 + tan^{2} (θ))

化简

tan^{2} (θ) + 1 + tan^{2} (θ) : 2 tan^{2} (θ) + 1

tan^{2} (θ) + 1 + tan^{2} (θ)

对同类项分组

= tan^{2} (θ) + tan^{2} (θ) + 1

同类项相加:

tan^{2} (θ) + tan^{2} (θ) = 2 tan^{2} (θ)

= 2 tan^{2} (θ) + 1

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (2 tan^{2} (θ) + 1)

乘开

(sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) : sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

(sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sec (θ), b = tan (θ)

= sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

= (sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)) (2 tan^{2} (θ) + 1)

使用毕达哥拉斯恒等式:

sec^{2} (θ) = tan^{2} (θ) + 1

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) = 1

= 1 \cdot (2 tan^{2} (θ) + 1)

化简

= 2 tan^{2} (θ) + 1

= 2 tan^{2} (θ) + 1

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos(-pi/4)=sin(pi/4)

p ro v e cos (- \frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{4})

证明 sin(u)cos(u)= 1/2 sin(2u)

p ro v e sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

证明 tan(2x)cos(2x)=sin(2x)

p ro v e tan (2 x) cos (2 x) = sin (2 x)

证明 tan(x)=2sin(x)

p ro v e tan (x) = 2 sin (x)

证明 (1-sin^4(a))/(cos^2(a))=2-cos^2(a)

p ro v e \frac{1 - sin ^{4} ( a )}{cos ^{2} ( a )} = 2 - cos^{2} (a)