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beweisen (sin(2x)+sin(4x))/(cos(2x)+cos(4x))=tan(3x)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{cos ( 2 x ) + cos ( 4 x )} = tan (3 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{cos ( 2 x ) + cos ( 4 x )} = tan (3 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{cos ( 2 x ) + cos ( 4 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{cos ( 2 x ) + cos ( 4 x )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) + cos (t) = 2 cos (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( \frac{2 x + 4 x}{2} ) cos ( \frac{2 x - 4 x}{2} )}

Vereinfache

\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( \frac{2 x + 4 x}{2} ) cos ( \frac{2 x - 4 x}{2} )} : \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )}

\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( \frac{2 x + 4 x}{2} ) cos ( \frac{2 x - 4 x}{2} )}

2 cos (\frac{2 x + 4 x}{2}) cos (\frac{2 x - 4 x}{2}) = 2 cos (\frac{6 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

2 cos (\frac{2 x + 4 x}{2}) cos (\frac{2 x - 4 x}{2})

Addiere gleiche Elemente:

2 x + 4 x = 6 x

= 2 cos (\frac{6 x}{2}) cos (\frac{2 x - 4 x}{2})

\frac{2 x - 4 x}{2} = - \frac{2 x}{2}

\frac{2 x - 4 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 x - 4 x = - 2 x

= \frac{- 2 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 x}{2}

= 2 cos (\frac{6 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

= \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( \frac{6 x}{2} ) cos ( - \frac{2 x}{2} )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( \frac{2 x}{2} ) cos ( \frac{6 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( x ) cos ( \frac{6 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{2 x + 4 x}{2} ) cos ( \frac{2 x - 4 x}{2} )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( \frac{2 x + 4 x}{2} ) cos ( \frac{2 x - 4 x}{2} )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )} : \frac{sin ( 3 x )}{cos ( 3 x )}

\frac{2 sin ( \frac{2 x + 4 x}{2} ) cos ( \frac{2 x - 4 x}{2} )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )}

2 sin (\frac{2 x + 4 x}{2}) cos (\frac{2 x - 4 x}{2}) = 2 sin (\frac{6 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

2 sin (\frac{2 x + 4 x}{2}) cos (\frac{2 x - 4 x}{2})

Addiere gleiche Elemente:

2 x + 4 x = 6 x

= 2 sin (\frac{6 x}{2}) cos (\frac{2 x - 4 x}{2})

\frac{2 x - 4 x}{2} = - \frac{2 x}{2}

\frac{2 x - 4 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 x - 4 x = - 2 x

= \frac{- 2 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 x}{2}

= 2 sin (\frac{6 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{6 x}{2} ) cos ( - \frac{2 x}{2} )}{2 cos ( x ) cos ( 3 x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( \frac{6 x}{2} ) cos ( - \frac{2 x}{2} )}{cos ( x ) cos ( 3 x )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{cos ( \frac{2 x}{2} ) sin ( \frac{6 x}{2} )}{cos ( 3 x ) cos ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( x ) sin ( \frac{6 x}{2} )}{cos ( 3 x ) cos ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{cos ( x ) sin ( 3 x )}{cos ( 3 x ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{sin ( 3 x )}{cos ( 3 x )}

= \frac{sin ( 3 x )}{cos ( 3 x )}

= \frac{sin ( 3 x )}{cos ( 3 x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (3 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{tan ( b )} + tan (b) = \frac{sec ^{2} ( b )}{tan ( b )}

p ro v e cos^{3} (x) = (cos (x))^{3}

p ro v e cos (b) (1 + tan (b))^{2} = sec (b) + 2 sin (b)

p ro v e csc^{2} (x) - csc (x) + 9 = 11

p ro v e sin (\frac{x}{2}) = \frac{1 + sin ( x )}{2}