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Beliebt Trigonometrie >

4sin(x)-3cos(x)=5

Lösung

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Lösung

x = 2.21429 \dots + 2 πn

Grad

x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Füge

3 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 sin (x) = 5 + 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x))^{2} = (5 + 3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(5 + 3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

16 sin^{2} (x) - 25 - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 25 + 16 sin^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere aus

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 25 + 16

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 25 + 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 25 + 16 = - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0 : u = - \frac{3}{5}

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = - 30, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9) = 0

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 30)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 25 \cdot 9 = 900

= 3 0^{2} - 900

3 0^{2} = 900

= 900 - 900

Subtrahiere die Zahlen:

900 - 900 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )} = - \frac{3}{5}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{30}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{30}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{30}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = - \frac{3}{5}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

5 = 5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

ein, um zu lösen

4 sin (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

- 1.4 = 5

\Rightarrow Falsch

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.21429 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,3sin^2(x)=cos^2(x)

so l v e f or x, 3 sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

cos(40)

cos (4 0^{\circ})

2sin(2x)=sin(x)

2 sin (2 x) = sin (x)

sin((11pi)/4)

sin (\frac{11 π}{4})

arccos(4/5)

arccos (\frac{4}{5})