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beweisen (1-sin^2(A))/(1-cos^2(A))=cot^2(A)

Lösung

beweisen

\frac{1 - sin ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )} = cot^{2} (A)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - sin ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )} = cot^{2} (A)

Manipuliere die rechte Seite

cot^{2} (A)

Drücke mit sin, cos aus

cot^{2} (A)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( A )}{sin ( A )})^{2}

Vereinfache

(\frac{cos ( A )}{sin ( A )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

(\frac{cos ( A )}{sin ( A )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

cos^{2} (x) = cos (2 x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 A ) + sin ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 A ) + 1 - cos ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A ) + 1 - cos ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )}

cos^{2} (A) - sin^{2} (A) + 1 - cos^{2} (A) = - sin^{2} (A) + 1

cos^{2} (A) - sin^{2} (A) + 1 - cos^{2} (A)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (A) - sin^{2} (A) - cos^{2} (A) + 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (A) - cos^{2} (A) = 0

= - sin^{2} (A) + 1

= \frac{- sin ^{2} ( A ) + 1}{1 - cos ^{2} ( A )}

= \frac{- sin ^{2} ( A ) + 1}{1 - cos ^{2} ( A )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{cos ( 6 0 ^{\circ} )} = tan (6 0^{\circ})

p ro v e \frac{tan ( x ) \cdot cot ( x )}{csc ( x )} = sin (x)

p ro v e \frac{1}{1 + cot ^{2} ( a )} = sin^{2} (a)

p ro v e tan (2 x) = - \frac{arctan ( - \frac{4}{3} )}{2}

p ro v e cos (0 + \frac{π}{2}) = - sin (0)