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beweisen tan(x)=(2tan(x/2))/(1-tan^2(x/2))

Lösung

beweisen

tan (x) = \frac{2 tan ( \frac{x}{2} )}{1 - tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (x) = \frac{2 tan ( \frac{x}{2} )}{1 - tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

tan (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Beweise

tan (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} :

Wahr

tan (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Manipuliere die linke Seite

tan (2 u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (2 u)

Schreibe um

= tan (u + u)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

tan (s + s) = \frac{tan ( s ) + tan ( s )}{1 - tan ( s ) tan ( s )}

= \frac{tan ( u ) + tan ( u )}{1 - tan ( u ) tan ( u )}

= \frac{tan ( u ) + tan ( u )}{1 - tan ( u ) tan ( u )}

Vereinfache

\frac{tan ( u ) + tan ( u )}{1 - tan ( u ) tan ( u )} : \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

\frac{tan ( u ) + tan ( u )}{1 - tan ( u ) tan ( u )}

Addiere gleiche Elemente:

tan (u) + tan (u) = 2 tan (u)

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ( u ) tan ( u )}

1 - tan (u) tan (u) = 1 - tan^{2} (u)

1 - tan (u) tan (u)

tan (u) tan (u) = tan^{2} (u)

tan (u) tan (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (u) tan (u) = tan^{1 + 1} (u)

= tan^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (u)

= 1 - tan^{2} (u)

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

tan (x) = \frac{2 tan ( \frac{x}{2} )}{1 - tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 4 sin (x) cos (x) cos (2 x) = sin (4 x)

p ro v e 2 cot (x) sin (x) = 2 cos (x)

p ro v e cos (3 x) = cos (x) (4 cos^{2} (x) - 3)

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) cot ( x )} = sec (x)

p ro v e csc (θ) + sin (θ) = \frac{2 - cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}