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beweisen cos(90+30)=cos(120)

Lösung

beweisen

cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos (12 0^{\circ})

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos (12 0^{\circ})

Manipuliere die linke Seite

cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (9 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) - sin (9 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

cos (9 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) - sin (9 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ}) = - \frac{1}{2}

cos (9 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) - sin (9 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

cos (9 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) = 0

cos (9 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ})

Vereinfache

cos (9 0^{\circ}) : 0

cos (9 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (9 0^{\circ}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (3 0^{\circ})

Vereinfache

cos (3 0^{\circ}) : \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= 0 \cdot \frac{3}{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

sin (9 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (9 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

Vereinfache

sin (9 0^{\circ}) : 1

sin (9 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (9 0^{\circ}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot sin (3 0^{\circ})

Vereinfache

sin (3 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

sin (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{1}{2}

= 1 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= 0 - \frac{1}{2}

0 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Manipuliere die rechte Seite

cos (12 0^{\circ})

Vereinfache

= - \frac{1}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - sin (x) = cos^{2} (x)

p ro v e 1 + cos (2 x) + 2 sin^{(2)} (x) = 2

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 + csc ( x )} = 1

p ro v e sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = 1

p ro v e 1 - 2 cos^{2} (θ) + cos^{4} (θ) = sin^{4} (θ)