English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove csc^2(x/2)=(2sec(x))/(sec(x)-1)

פתרון

prove

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

u = \frac{x}{2} :

נניח ש

csc^{2} (u) = \frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

csc^{2} (u) = \frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

הוכח ש:

נכון

csc^{2} (u) = \frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

עבוד על אגף ימין

\frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{2 sec ( 2 u )}{- 1 + sec ( 2 u )}

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

\frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

פשט את:

\frac{2}{- cos ( 2 u ) + 1}

\frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

אחד את:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- 1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u) :

הכפל

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

הכפל ב:

\frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

1 \cdot 2 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

:חלק את השברים

= \frac{2 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) ( - cos ( 2 u ) + 1 )}

cos (2 u) :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{2}{- cos ( 2 u ) + 1}

= \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

= \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

פשט את:

\frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

הרחב את:

2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

פתח סוגריים

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

Rewrite using trig identities

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

פשט

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

\frac{a}{1} = a

הפעל את החוק

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove (sec(x))/(-csc(x))+(-sin(x))/(cos(x))=-2tan(x)

p ro v e \frac{sec ( x )}{- csc ( x )} + \frac{- sin ( x )}{cos ( x )} = - 2 tan (x)

prove 1=(sec(u)+tan(u))/(sec(u)+tan(u))

p ro v e 1 = \frac{sec ( u ) + tan ( u )}{sec ( u ) + tan ( u )}

prove (sin^2(x))/1*1/(sin^2(x))=1

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{1} \cdot \frac{1}{sin ^{2} ( x )} = 1

prove 1/2 cot(x)-1/2 tan(x)=cot(2x)

p ro v e \frac{1}{2} cot (x) - \frac{1}{2} tan (x) = cot (2 x)

prove cos(x+pi/6)=(sqrt(3))/2 cos(x)-1/2 sin(x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)