he

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

cos(2θ)=cos^2(θ)-1/2

פתרון

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

פתרון

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

+1

מעלות

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

משני האגפים

cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

החסר

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2} = 0

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2}

פשט את:

\frac{2 cos ( 2 θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2}

cos (2 θ) = \frac{cos ( 2 θ ) 2}{2}, cos^{2} (θ) = \frac{cos ^{2} ( θ ) 2}{2}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{2} - \frac{cos ^{2} ( θ ) \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2 - cos ^{2} ( θ ) \cdot 2 + 1}{2}

\frac{2 cos ( 2 θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (2 θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 = 0

Rewrite using trig identities

1 + 2 cos (2 θ) - 2 cos^{2} (θ)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

cos^{2} (x) = cos (2 x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

פשט את:

1 - 2 sin^{2} (θ)

1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

- 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

הרחב את:

- 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

- 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

a (b + c) = ab + a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = - 2, b = cos (2 θ), c = sin^{2} (θ)

= - 2 cos (2 θ) + (- 2) sin^{2} (θ)

הפעל חוקי מינוס-פלוס

+ (- a) = - a

= - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (2 θ) - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

2 cos (2 θ) - 2 cos (2 θ) = 0 :

חבר איברים דומים

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 - 2 sin^{2} (θ) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

1 - 2 sin^{2} (θ) = 0

sin (θ) = u :

נניח ש

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

לצד ימין

1

העבר

1 - 2 u^{2} = 0

משני האגפים

1

החסר

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

פשט

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

- 2

חלק את שני האגפים ב

- 2 u^{2} = - 1

- 2

חלק את שני האגפים ב

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

פשט

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

x = f (a), - f (a)

הפתרונות הם

x^{2} = f (a)

עבור

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = sin (θ)

החלף בחזרה

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = - \frac{1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

אחד את הפתרונות

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

גרף

דוגמאות פופולריות

arccos(cos((7pi)/6))

arctan(-240/180)

sin((7pi)/(12))