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beweisen (1+tan^2(α))(1-sin^2(α))=1

Lösung

beweisen

(1 + tan^{2} (α)) (1 - sin^{2} (α)) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + tan^{2} (α)) (1 - sin^{2} (α)) = 1

Manipuliere die linke Seite

(1 + tan^{2} (α)) (1 - sin^{2} (α))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + tan^{2} (α)) (1 - sin^{2} (α))

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= (1 + tan^{2} (α)) cos^{2} (α)

= (1 + tan^{2} (α)) cos^{2} (α)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (α)) cos^{2} (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}) cos^{2} (α)

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}) cos^{2} (α) : cos^{2} (α) + sin^{2} (α)

(1 + (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}) cos^{2} (α)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (α) (\frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} + 1)

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

1 + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (α) = cos^{2} (α)

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} cos^{2} (α)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) ) cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (α)

= cos^{2} (α) + sin^{2} (α)

= cos^{2} (α) + sin^{2} (α)

= cos^{2} (α) + sin^{2} (α)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (α) + sin^{2} (α)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (θ) - cot (θ) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e tan (x) = tan (x) + 2 sin^{2} (x)

p ro v e \frac{1}{2 cot ( 1 - cos ^{2} ( x ) )} = csc (2 x)

p ro v e cot (u) = \frac{1}{tan ( u )}

p ro v e - sin (2 x) = - 4 cos (x) sin (x)