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Beliebt Trigonometrie >

beweisen ((sec^2(x)))/(sec^2(x)-1)=csc^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{( sec ^{2} ( x ) )}{sec ^{2} ( x ) - 1} = csc^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1} = csc^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( x )}{- 1 + sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}

Multipliziere

cos^{2} (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )} : - cos^{2} (x) + 1

cos^{2} (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= - - cos^{2} (x) + 1

= \frac{1}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{1}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{1}{1 - cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{1 - cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (sin(x))(tan(x)cos(x)-cot(x)cos(x))=1-2cos(2x)

p ro v e (sin (x)) (tan (x) cos (x) - cot (x) cos (x)) = 1 - 2 cos (2 x)

beweisen sin(20)=2cos(10)*sin(10)

p ro v e sin (2 0^{\circ}) = 2 cos (1 0^{\circ}) \cdot sin (1 0^{\circ})

beweisen sin^2(x)=sec(x)cos(x)-cos^2(x)

p ro v e sin^{2} (x) = sec (x) cos (x) - cos^{2} (x)

beweisen 1-2sin^2(2θ)=8cos^4(θ)-8cos^2(θ)+1

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

beweisen sech^2(x)+tanh^2(x)=1

p ro v e sech^{2} (x) + tanh^{2} (x) = 1