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beweisen (cos(φ)+1)/(sin(φ)+tan(φ))=cot(φ)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( φ ) + 1}{sin ( φ ) + tan ( φ )} = cot (φ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( φ ) + 1}{sin ( φ ) + tan ( φ )} = cot (φ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( φ ) + 1}{sin ( φ ) + tan ( φ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + tan ( φ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + \frac{s i n ( φ )}{c o s ( φ )}}

Vereinfache

\frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + \frac{s i n ( φ )}{c o s ( φ )}} : \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

\frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + \frac{s i n ( φ )}{c o s ( φ )}}

Füge

sin (φ) + \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

zusammen:

\frac{sin ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ )}{cos ( φ )}

sin (φ) + \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (φ) = \frac{sin ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )}

= \frac{sin ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )} + \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ )}{cos ( φ )}

= \frac{1 + cos ( φ )}{\frac{s i n ( φ ) c o s ( φ ) + s i n ( φ )}{c o s ( φ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + cos ( φ ) ) cos ( φ )}{sin ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (φ)

= \frac{( 1 + cos ( φ ) ) cos ( φ )}{sin ( φ ) ( cos ( φ ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 + cos (φ)

= \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

= \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

= \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (φ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (x) + tan (x) = 0

p ro v e 2 cos^{2} (x) - cos (2 x) = 1

p ro v e - cot^{2} (x) = 1 - csc^{2} (x)

p ro v e \frac{1}{tan ( 2 θ )} = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

p ro v e (1 - cos (θ)) + sin^{2} (θ) = 2