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beweisen (1+tan(x))/(sec(x))=cos(x)+sin(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )} = cos (x) + sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )} = cos (x) + sin (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}} : cos (x) + sin (x)

\frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) cos ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )} cos ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= cos (x) + sin (x)

= cos (x) + sin (x)

= cos (x) + sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ( 4 x )}{4} = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{2}

p ro v e \frac{sin ( x ) tan ( x )}{cos ( x ) + 1} = sec (x) - 1

p ro v e sin (a + b) - sin (a - b) = 2 sin (a) sin (b)

p ro v e sec (x) + 1 = \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) - 1}

p ro v e \frac{sin ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )} = cos (x)