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Populaire Trigonométrie >

1/(sin^2(x))-1/(cos^2(x))>= 8/3

Solution

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

Solution

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn or π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

La notation des intervalles

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{11 π}{6} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Décimale

2 πn < x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x < 3.14159 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 5.75958 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

étapes des solutions

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{1 - sin ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

Soit :

v = sin (x)

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3} : - \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

Récrire sous la forme standard

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

Soustraire

\frac{8}{3}

des deux côtés

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} \geq \frac{8}{3} - \frac{8}{3}

Simplifier

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} \geq 0

Simplifier

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} : \frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3}

Factoriser

- v^{2} + 1 : - (v + 1) (v - 1)

- v^{2} + 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (v^{2} - 1)

Factoriser

v^{2} - 1 : (v + 1) (v - 1)

v^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= v^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - 1^{2} = (v + 1) (v - 1)

= (v + 1) (v - 1)

= - (v + 1) (v - 1)

= \frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{8}{3}

Plus petit commun multiple de

v^{2}, - (v + 1) (v - 1), 3 : 3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

v^{2}, - (v + 1) (v - 1), 3

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées

= 3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Pour

\frac{1}{v ^{2}} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

3 (v + 1) (v - 1)

\frac{1}{v ^{2}} = \frac{1 \cdot 3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{v ^{2} \cdot 3 ( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Pour

\frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

- 3 v^{2}

\frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{1 \cdot ( - 3 v ^{2} )}{( - ( v + 1 ) ( v - 1 ) ) ( - 3 v ^{2} )} = \frac{- 3 v ^{2}}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Pour

\frac{8}{3} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

v^{2} (v + 1) (v - 1)

\frac{8}{3} = \frac{8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{- 3 v ^{2}}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 ) - ( - 3 v ^{2} ) - 8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 ) + 3 v ^{2} - 8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Développer

3 (v + 1) (v - 1) + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1) : - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

3 (v + 1) (v - 1) + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Développer

3 (v + 1) (v - 1) : 3 v^{2} - 3

Développer

(v + 1) (v - 1) : v^{2} - 1

(v + 1) (v - 1)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = v, b = 1

= v^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= v^{2} - 1

= 3 (v^{2} - 1)

Développer

3 (v^{2} - 1) : 3 v^{2} - 3

3 (v^{2} - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = v^{2}, c = 1

= 3 v^{2} - 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 3 v^{2} - 3

= 3 v^{2} - 3

= 3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Développer

- 8 v^{2} (v + 1) (v - 1) : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

Développer

(v + 1) (v - 1) : v^{2} - 1

(v + 1) (v - 1)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = v, b = 1

= v^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= v^{2} - 1

= - 8 v^{2} (v^{2} - 1)

Développer

- 8 v^{2} (v^{2} - 1) : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

- 8 v^{2} (v^{2} - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 8 v^{2}, b = v^{2}, c = 1

= - 8 v^{2} v^{2} - (- 8 v^{2}) \cdot 1

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2}

Simplifier

- 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2} : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

- 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2}

8 v^{2} v^{2} = 8 v^{4}

8 v^{2} v^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 8 v^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= 8 v^{4}

8 \cdot 1 \cdot v^{2} = 8 v^{2}

8 \cdot 1 \cdot v^{2}

Multiplier les nombres :

8 \cdot 1 = 8

= 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= 3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2}

Simplifier

3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2} : - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2}

Grouper comme termes

= - 8 v^{4} + 3 v^{2} + 3 v^{2} + 8 v^{2} - 3

Additionner les éléments similaires :

3 v^{2} + 3 v^{2} + 8 v^{2} = 14 v^{2}

= - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

= - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

= \frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

Multiplier les deux côtés par

3

\frac{3 ( - 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0 \cdot 3

Simplifier

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

Factoriser

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} : \frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Factoriser

- 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3 : - (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

- 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

Factoriser le terme commun

- 1

= - (8 v^{4} - 14 v^{2} + 3)

Factoriser

8 v^{4} - 14 v^{2} + 3 : (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

8 v^{4} - 14 v^{2} + 3

Soit

u = v^{2}

= 8 u^{2} - 14 u + 3

Factoriser

8 u^{2} - 14 u + 3 : (4 u - 1) (2 u - 3)

8 u^{2} - 14 u + 3

Décomposer l'expression en groupes

8 u^{2} - 14 u + 3

Définition

Facteurs de

24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

24

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

24 : 2, 2, 2, 3

24

24

divisée par

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier les facteurs premiers de

24 : 4, 8, 6, 12

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

4, 8, 6, 12

4, 8, 6, 12

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3

Ajouter 1 et le nombre

24

lui-même

1, 24

Les facteurs de

24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Facteurs négatifs de

24 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 24

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 24

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = 24,

vérifier si

u + v = - 14

Vérifier

u = 1, v = 24 : u * v = 24, u + v = 25 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = 12 : u * v = 24, u + v = 14 \Rightarrow

Faux

u = - 2, v = - 12

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(8 u^{2} - 2 u) + (- 12 u + 3)

= (8 u^{2} - 2 u) + (- 12 u + 3)

Factoriser

2 u

depuis

8 u^{2} - 2 u : 2 u (4 u - 1)

8 u^{2} - 2 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 8 uu - 2 u

Récrire

8

comme

2 \cdot 4

= 2 \cdot 4 uu - 2 u

Factoriser le terme commun

2 u

= 2 u (4 u - 1)

Factoriser

- 3

depuis

- 12 u + 3 : - 3 (4 u - 1)

- 12 u + 3

Récrire

12

comme

3 \cdot 4

= - 3 \cdot 4 u + 3

Factoriser le terme commun

- 3

= - 3 (4 u - 1)

= 2 u (4 u - 1) - 3 (4 u - 1)

Factoriser le terme commun

4 u - 1

= (4 u - 1) (2 u - 3)

= (4 u - 1) (2 u - 3)

Remplacer

u = v^{2}

= (4 v^{2} - 1) (2 v^{2} - 3)

Factoriser

4 v^{2} - 1 : (2 v + 1) (2 v - 1)

4 v^{2} - 1

Récrire

4 v^{2} - 1

comme

(2 v)^{2} - 1^{2}

4 v^{2} - 1

Récrire

4

comme

2^{2}

= 2^{2} v^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= 2^{2} v^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v^{2} - 3)

Factoriser

2 v^{2} - 3 : (2 v + 3) (2 v - 3)

2 v^{2} - 3

Récrire

2 v^{2} - 3

comme

(2 v)^{2} - (3)^{2}

2 v^{2} - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - (3)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - (3)^{2}

= (2 v)^{2} - (3)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - (3)^{2} = (2 v + 3) (2 v - 3)

= (2 v + 3) (2 v - 3)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

= - (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

= \frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

\frac{( - ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 ) ) ( - 1 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \leq 0 \cdot (- 1)

Simplifier

\frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

\frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Trouver les signes de

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 v = - 1

2 v = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 v < - 1

2 v < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 v > - 1

2 v > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

Trouver les signes de

2 v - 1

2 v - 1 = 0 : v = \frac{1}{2}

2 v - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 v = 1

2 v = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

v = \frac{1}{2}

v = \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 v < 1

2 v < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

v < \frac{1}{2}

v < \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 v > 1

2 v > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

v > \frac{1}{2}

v > \frac{1}{2}

Trouver les signes de

2 v + 3

2 v + 3 = 0 : v = - \frac{3}{2}

2 v + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 v + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 v + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

2 v = - 3

2 v = - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 v = - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

2 v + 3 < 0 : v < - \frac{3}{2}

2 v + 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 v + 3 < 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 v + 3 - 3 < 0 - 3

Simplifier

2 v < - 3

2 v < - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 v < - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} < \frac{- 3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

2 v + 3 > 0 : v > - \frac{3}{2}

2 v + 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 v + 3 > 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 v + 3 - 3 > 0 - 3

Simplifier

2 v > - 3

2 v > - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 v > - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} > \frac{- 3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

Trouver les signes de

2 v - 3

2 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{2}

2 v - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 v - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 v - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 v = 3

2 v = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 v = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

2 v - 3 < 0 : v < \frac{3}{2}

2 v - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 v - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 v - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

2 v < 3

2 v < 3

Diviser les deux côtés par

2

2 v < 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

2 v - 3 > 0 : v > \frac{3}{2}

2 v - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 v - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 v - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

2 v > 3

2 v > 3

Diviser les deux côtés par

2

2 v > 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

Trouver les signes de

v^{2}

v^{2} = 0 : v = 0

v^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

v = 0

v^{2} > 0 : v < 0 or v > 0

v^{2} > 0

Pour

u^{n} > 0

, si

n

est pair alors

u < 0

u > 0

v < 0 or v > 0

Trouver les signes de

v + 1

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

v = - 1

v = - 1

v + 1 < 0 : v < - 1

v + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

v < - 1

v < - 1

v + 1 > 0 : v > - 1

v + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

v > - 1

v > - 1

Trouver les signes de

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

v > 1

v > 1

Trouver les points de singularité

Trouver les zéros du dénominateur

v^{2} (v + 1) (v - 1) : v = 0, v = - 1, v = 1

v^{2} (v + 1) (v - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

v = 0 or v + 1 = 0 or v - 1 = 0

Résoudre

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

v = - 1

v = - 1

Résoudre

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

v = 1

v = 1

Les solutions sont

v = 0, v = - 1, v = 1

Récapituler dans un tableau:

2 v + 1 2 v - 1 2 v + 3 2 v - 3 v^{2} v + 1 v - 1 \frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} v < - \frac{3}{2} - - - - + - - + v = - \frac{3}{2} - - 0 - + - - 0 - \frac{3}{2} < v < - 1 - - + - + - - - v = - 1 - - + - + 0 - Ind \overset{e}{ˊ} fini - 1 < v < - \frac{1}{2} - - + - + + - + v = - \frac{1}{2} 0 - + - + + - 0 - \frac{1}{2} < v < 0 + - + - + + - - v = 0 + - + - 0 + - Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < v < \frac{1}{2} + - + - + + - - v = \frac{1}{2} + 0 + - + + - 0 \frac{1}{2} < v < 1 + + + - + + - + v = 1 + + + - + + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 1 < v < \frac{3}{2} + + + - + + + - v = \frac{3}{2} + + + 0 + + + 0 v > \frac{3}{2} + + + + + + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

v = - \frac{3}{2} or - \frac{3}{2} < v < - 1 or v = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2} or v = \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2} or v = \frac{3}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2} or v = \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

v = - \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < v < - 1

- \frac{3}{2} \leq v < - 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{2} \leq v < - 1

v = - \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or v = - \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or v = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < v < 0

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0

0 < v < \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2}

v = \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2}

1 < v < \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

Remplacer

v = sin (x)

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1 or - \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq \frac{1}{2} or 1 < sin (x) \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1 :

Faux pour toute

x \in R

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1

a \leq u < b

alors

a \leq u and u < b

- \frac{3}{2} \leq sin (x) and sin (x) < - 1

- \frac{3}{2} \leq sin (x) :

Vrai pour toute

x \in R

- \frac{3}{2} \leq sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) \geq - \frac{3}{2}

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq - \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

sin (x) < - 1 :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) < - 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Vrai pour toute x \in R and Faux pour toute x \in R

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

Vrai pour toute

x \in R

Faux pour toute

x \in R

Faux pour toute x \in R

Faux pour toute x \in R

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0 : π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

a \leq u < b

alors

a \leq u and u < b

- \frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) \geq - \frac{1}{2}

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

Simplifier

π - arcsin (- \frac{1}{2}) : \frac{7 π}{6}

π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6})

Simplifier

π - (- \frac{π}{6})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{6}

Additionner les éléments similaires :

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplifier

- π + 2 πn < x < 2 πn

Réunir les intervalles

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

0 < sin (x) \leq \frac{1}{2} : 2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq \frac{1}{2}

a < u \leq b

alors

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) > 0

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplifier

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplifier

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

Pour

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Simplifier

- π - \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Additionner les éléments similaires :

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Simplifier

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Réunir les intervalles

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn

1 < sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Faux pour toute

x \in R

1 < sin (x) \leq \frac{3}{2}

a < u \leq b

alors

a < u and u \leq b

1 < sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

1 < sin (x) :

Faux pour toute

x \in R

1 < sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) > 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Vrai pour toute

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Faux pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

Faux pour toute

x \in R

Vrai pour toute

x \in R

Faux pour toute x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R or (π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn) or (2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn) or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn or π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Exemples populaires

cos(x)>= sin(x)

cos (x) \geq sin (x)

sin(x)<1

sin (x) < 1

tan(x)<0.7

tan (x) < 0.7

sin(2x)>0

sin (2 x) > 0

sin(x)>= 1/2

sin (x) \geq \frac{1}{2}