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Popular Trigonometria >

sin^2(x)+1/2*sin(x)>0

Solução

sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot sin (x) > 0

Solução

2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

Notação de intervalo

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- \frac{5 π}{6} + 2 πn, - \frac{π}{6} + 2 πn)

Decimal

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 2.61799 \dots + 2 πn < x < - 0.52359 \dots + 2 πn

Passos da solução

sin^{2} (x) + \frac{1}{2} sin (x) > 0

Sea:

u = sin (x)

u^{2} + \frac{1}{2} u > 0

u^{2} + \frac{1}{2} u > 0 : u < - \frac{1}{2} or u > 0

u^{2} + \frac{1}{2} u > 0

Reescrever na forma geral

u^{2} + \frac{1}{2} u > 0

Multiplicar ambos os lados por

2

u^{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} u \cdot 2 > 0 \cdot 2

2 u^{2} + u > 0

2 u^{2} + u > 0

Fatorar

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u + 1)

u (2 u + 1) > 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

u (2 u + 1)

Encontre os sinais de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontre os sinais de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Resumir em uma tabela:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} - 00 - \frac{1}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

> 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) < - \frac{1}{2} or sin (x) > 0

sin (x) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2}

Para

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Simplificar

- π - (- \frac{π}{6})

Aplicar a regra

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Converter para fração:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Somar elementos similares:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) > 0 : 2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) > 0

Para

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplificar

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplificar

2 πn < x < π + 2 πn

Combinar os intervalos

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

Exemplos populares

-sin(x)>0

- sin (x) > 0

arctan(x)<= 1

arctan (x) \leq 1

(2sin(x)+1)/(2cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} \leq 0

sec(x)>0

sec (x) > 0

sec^2(x)<= 2

sec^{2} (x) \leq 2