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Popolare Trigonometria >

sin(x)cos(2x)>= 0

Soluzione

sin (x) cos (2 x) \geq 0

Soluzione

2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn or - \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn] \cup [\frac{3 π}{4} + 2 πn, π + 2 πn] \cup [- \frac{3 π}{4} + 2 πn, - \frac{π}{4} + 2 πn]

Decimale

2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.14159 \dots + 2 πn or - 2.35619 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.78539 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

sin (x) cos (2 x) \geq 0

Usare l'identità seguente:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) \geq 0

Sia:

u = sin (x)

(1 - 2 u^{2}) u \geq 0

(1 - 2 u^{2}) u \geq 0 : u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u \leq \frac{2}{2}

(1 - 2 u^{2}) u \geq 0

Fattorizza

(1 - 2 u^{2}) u : - u (2 u + 1) (2 u - 1)

(1 - 2 u^{2}) u

Fattorizza

- 2 u^{2} + 1 : - (2 u + 1) (2 u - 1)

- 2 u^{2} + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u^{2} - 1)

Fattorizza

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Riscrivi

2 u^{2} - 1

come

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= - (2 u + 1) (2 u - 1)

= - u (2 u + 1) (2 u - 1)

- u (2 u + 1) (2 u - 1) \geq 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- u (2 u + 1) (2 u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Semplificare

u (2 u + 1) (2 u - 1) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (2 u + 1) (2 u - 1)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= u

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= u

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= u

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= u

Semplificare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= u

Semplificare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= u

Semplificare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

Riassumere in una tabella:

u 2 u + 1 2 u - 1 u (2 u + 1) (2 u - 1) u < - \frac{2}{2} - - - - u = - \frac{2}{2} - 0 - 0 - \frac{2}{2} < u < 0 - + - + u = 0 0 + - 0 0 < u < \frac{2}{2} + + - - u = \frac{2}{2} + + 00 u > \frac{2}{2} + + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u < - \frac{2}{2} or u = - \frac{2}{2} or u = 0 or 0 < u < \frac{2}{2} or u = \frac{2}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u < \frac{2}{2} or u = \frac{2}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u < - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u \leq - \frac{2}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{2}{2}

u = 0

u \leq - \frac{2}{2} or u = 0

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{2}{2} or u = 0

0 < u < \frac{2}{2}

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u < \frac{2}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u < \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u \leq \frac{2}{2}

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u \leq \frac{2}{2}

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u \leq \frac{2}{2}

u \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq u \leq \frac{2}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) \leq - \frac{2}{2} or 0 \leq sin (x) \leq \frac{2}{2}

sin (x) \leq - \frac{2}{2} : - \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) \leq - \frac{2}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{3 π}{4}

- π - arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= - π - (- \frac{π}{4})

Semplificare

- π - (- \frac{π}{4})

Applicare la regola

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{4}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} + \frac{π}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 + π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- 4 π + π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{4}

= - \frac{3 π}{4}

Semplificare

arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn

0 \leq sin (x) \leq \frac{2}{2} : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x) \leq \frac{2}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{2}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq 0

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Semplificare

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Semplificare

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{2}{2} : - \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{2}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (\frac{2}{2}) : - \frac{5 π}{4}

- π - arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4}

Semplificare

- π - \frac{π}{4}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} - \frac{π}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 - π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- 4 π - π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{4}

= - \frac{5 π}{4}

Semplificare

arcsin (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Combina gli intervalli

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn or (2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn or - \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn

Esempi popolari

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0

sec(x)<= sqrt(2)

sec (x) \leq 2

1/(cos(x))<= 2,-pi<= x<= pi

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2, - π \leq x \leq π

sin(x)>0.5

sin (x) > 0.5

2cos^2(x)-3cos(x)-2>= 0

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 2 \geq 0