English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(cos^2(x)-1/2)/(tan(x)-sqrt(3))<0

Решение

\frac{cos ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} < 0

Решение

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Обозначение интервала

[πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{π}{3} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

десятичными цифрами

πn \leq x < 0.78539 \dots + πn or 1.04719 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x \leq 3.14159 \dots + πn

Шаги решения

\frac{cos ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} < 0

Используйте следующую тождественность:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Поэтому

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} < 0

Упростить

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} : - \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3}

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3}

Умножить на сопряженное

\frac{tan ( x ) + 3}{tan ( x ) + 3}

= \frac{( 1 - sin ^{2} ( x ) - \frac{1}{2} ) ( tan ( x ) + 3 )}{( tan ( x ) - 3 ) ( tan ( x ) + 3 )}

Упростить

(1 - sin^{2} (x) - \frac{1}{2}) (tan (x) + 3) : (- sin^{2} (x) + \frac{1}{2}) (tan (x) + 3)

(1 - sin^{2} (x) - \frac{1}{2}) (tan (x) + 3)

Присоединить

1 - sin^{2} (x) - \frac{1}{2}

к одной дроби:

- sin^{2} (x) + \frac{1}{2}

1 - sin^{2} (x) - \frac{1}{2}

Сложите дроби

1 - \frac{1}{2} : \frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Перемножьте числа:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Вычтите числа:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= - sin^{2} (x)

= (- sin^{2} (x) + \frac{1}{2}) (tan (x) + 3)

(tan (x) - 3) (tan (x) + 3) = tan^{2} (x) - 3

(tan (x) - 3) (tan (x) + 3)

Примените формулу разности двух квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = tan (x), b = 3

= tan^{2} (x) - (3)^{2}

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Примените правило радикалов:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Отмените общий множитель:

2

= 1

= 3

= tan^{2} (x) - 3

= \frac{( - sin ^{2} ( x ) + \frac{1}{2} ) ( tan ( x ) + 3 )}{tan ^{2} ( x ) - 3}

коэффициент

- sin^{2} (x) + \frac{1}{2} : - (sin (x) + \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{1}{2})

- sin^{2} (x) + \frac{1}{2}

Убрать общее значение

- 1

= - (sin^{2} (x) - \frac{1}{2})

коэффициент

sin^{2} (x) - \frac{1}{2} : (sin (x) + \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{1}{2})

sin^{2} (x) - \frac{1}{2}

Примените правило радикалов:

a = (a)^{2}

\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= sin^{2} (x) - (\frac{1}{2})^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - (\frac{1}{2})^{2} = (sin (x) + \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{1}{2})

= (sin (x) + \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{1}{2})

= - (sin (x) + \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{1}{2})

= - \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} ) ( tan ( x ) + 3 )}{tan ^{2} ( x ) - 3}

коэффициент

tan^{2} (x) - 3 : (tan (x) + 3) (tan (x) - 3)

tan^{2} (x) - 3

Примените правило радикалов:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= tan^{2} (x) - (3)^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

tan^{2} (x) - (3)^{2} = (tan (x) + 3) (tan (x) - 3)

= (tan (x) + 3) (tan (x) - 3)

= - \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} ) ( tan ( x ) + 3 )}{( tan ( x ) + 3 ) ( tan ( x ) - 3 )}

Отмените общий множитель:

tan (x) + 3

= - \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3}

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3} < 0

Периодичность

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3} : π

\frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3}

состоит из следующих функций и периодов:

sin (x)

с периодичностью

2 π

Составная периодичность:

= π

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3} < 0

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} - 3} < 0

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} - 3} < 0

Упростите

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} - 3} : - \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )}

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} - 3}

Присоединить

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3

к одной дроби:

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3

Преобразуйте элемент в дробь:

3 = \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{\frac{s i n ( x ) - 3 c o s ( x )}{c o s ( x )}}

Примените правило дробей:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= - \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )}

- \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )} < 0

Найдите нули и неопределенные точки

- \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )}

для

0 \leq x < π

Чтобы найти нули, приравняем неравенство к нулю

- \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )} = 0

- \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

- \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{sin ( x ) - 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- (cos (x) (sin (x) + \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{1}{2})) = 0

Произведите отдельное решение для каждой части

cos (x) = 0 or sin (x) + \frac{1}{2} = 0 or sin (x) - \frac{1}{2} = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Общие решения для

cos (x) = 0

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

sin (x) + \frac{1}{2} = 0, 0 \leq x < π :

Не имеет решения

sin (x) + \frac{1}{2} = 0, 0 \leq x < π

Переместите

\frac{1}{2}

вправо

sin (x) + \frac{1}{2} = 0

Вычтите

\frac{1}{2}

с обеих сторон

sin (x) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2}

После упрощения получаем

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

sin (x) = - \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < π

Не имеет решения

sin (x) - \frac{1}{2} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

sin (x) - \frac{1}{2} = 0, 0 \leq x < π

Переместите

\frac{1}{2}

вправо

sin (x) - \frac{1}{2} = 0

Добавьте

\frac{1}{2}

к обеим сторонам

sin (x) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2}

После упрощения получаем

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

sin (x) = \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Объедините все решения

x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Найдите неопределенные точки:

x = \frac{π}{3}

Найдите нули знаменателя

sin (x) - 3 cos (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

sin (x) - 3 cos (x) = 0

Разделите обе части на

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

После упрощения получаем

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 = 0

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 3 = 0

tan (x) - 3 = 0

Переместите

3

вправо

tan (x) - 3 = 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

tan (x) - 3 + 3 = 0 + 3

После упрощения получаем

tan (x) = 3

tan (x) = 3

Общие решения для

tan (x) = 3

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < π

x = \frac{π}{3}

\frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Определите интервалы

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Свести в таблицу:

cos (x) sin (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} sin (x) - 3 cos (x) - \frac{c o s ( x ) ( s i n ( x ) + \frac{1}{2} ) ( s i n ( x ) - \frac{1}{2} )}{s i n ( x ) - 3 c o s ( x )} x = 0 + + - - - 0 < x < \frac{π}{4} + + - - - x = \frac{π}{4} + + 0 - 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{3} + + + - + x = \frac{π}{3} + + + 0 Неопределенный \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} + + + + - x = \frac{π}{2} 0 + + + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} - + + + + x = \frac{3 π}{4} - + 0 + 0 \frac{3 π}{4} < x < π - + - + - x = π - + - + -

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

< 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

x = 0

либо

0 < x < \frac{π}{4}

0 \leq x < \frac{π}{4}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

0 \leq x < \frac{π}{4}

либо

\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}

либо

\frac{3 π}{4} < x < π

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

либо

x = π

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

Примените периодичность

- \frac{( sin ( x ) + \frac{1}{2} ) ( sin ( x ) - \frac{1}{2} )}{tan ( x ) - 3}

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

(cos^2(x)-1/2)/(tan(x)-sqrt(3))<0

Решение

Решение

Популярные примеры