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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)-4cos(x)<0

Lösung

cos^{2} (x) - 4 cos (x) < 0

Lösung

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn)

Dezimale

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) - 4 cos (x) < 0

Angenommen:

u = cos (x)

u^{2} - 4 u < 0

u^{2} - 4 u < 0 : 0 < u < 4

u^{2} - 4 u < 0

Faktorisiere

u^{2} - 4 u : u (u - 4)

u^{2} - 4 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - 4 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u - 4)

u (u - 4) < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (u - 4)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

u - 4

u - 4 = 0 : u = 4

u - 4 = 0

Verschiebe

4

auf die rechte Seite

u - 4 = 0

Füge

4

zu beiden Seiten hinzu

u - 4 + 4 = 0 + 4

Vereinfache

u = 4

u = 4

u - 4 < 0 : u < 4

u - 4 < 0

Verschiebe

4

auf die rechte Seite

u - 4 < 0

Füge

4

zu beiden Seiten hinzu

u - 4 + 4 < 0 + 4

Vereinfache

u < 4

u < 4

u - 4 > 0 : u > 4

u - 4 > 0

Verschiebe

4

auf die rechte Seite

u - 4 > 0

Füge

4

zu beiden Seiten hinzu

u - 4 + 4 > 0 + 4

Vereinfache

u > 4

u > 4

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u u - 4 u (u - 4) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 4 + - - u = 4 + 00 u > 4 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

0 < u < 4

0 < u < 4

0 < u < 4

Setze in

u = cos (x)

ein

0 < cos (x) < 4

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

0 < cos (x) and cos (x) < 4

0 < cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

0 < cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) > 0

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) < 4 :

Wahr für alle

x \in R

cos (x) < 4

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < 4 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y < 4 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < 4 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < 4

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sec^2(x)<1

sec^{2} (x) < 1

sec(A)<0

sec (A) < 0

solvefor x,sin(x)>0

so l v e f or x, sin (x) > 0

sin(2x)<cos(2x)

sin (2 x) < cos (2 x)

pi/2-arctan(x^4)>0.0001

\frac{π}{2} - arctan (x^{4}) > 0.0001