English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)>= 0

Solution

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

Solution

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

La notation des intervalles

[\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn]

Décimale

2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.18879 \dots + 2 πn

étapes des solutions

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

Soit :

u = cos (x)

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

Récrire sous la forme standard

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

Développer

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) : u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

(u - 1) (u + \frac{1}{2})

Appliquer la méthode FOIL:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = u, b = - 1, c = u, d = \frac{1}{2}

= uu + u \frac{1}{2} + (- 1) u + (- 1) \frac{1}{2}

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

Simplifier

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2} : u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u = - \frac{1}{2} u

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u

Factoriser le terme commun

u

= u (\frac{1}{2} - 1)

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1 \cdot 2}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

1 - 1 \cdot 2 = - 1

1 - 1 \cdot 2

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= 1 - 2

Soustraire les nombres :

1 - 2 = - 1

= - 1

= \frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} u

= uu - \frac{1}{2} u - 1 \cdot \frac{1}{2}

uu = u^{2}

uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= u^{2}

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2} \geq 0

Multiplier les deux côtés par

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} u \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \geq 0 \cdot 2

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

Factoriser

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} - u - 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = - 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

vraiVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Faux

u = 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u + 1)

Factoriser

- 1

depuis

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Factoriser le terme commun

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 u + 1) (u - 1)

Trouver les signes de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 u < - 1

2 u < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 u > - 1

2 u > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Trouver les signes de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

u > 1

u > 1

Récapituler dans un tableau:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u < - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - \frac{1}{2}

u = 1

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

u > 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) \leq - \frac{1}{2} or cos (x) \geq 1

cos (x) \leq - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

Pour

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Simplifier

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Simplifier

2 π - \frac{2 π}{3}

Convertir un élément en fraction:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Additionner les éléments similaires :

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq 1 :

Aucune solution pour

x \in R

cos (x) \geq 1

Pour

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (1) + 2 πn \leq x \leq arccos (1) + 2 πn

Simplifier

- arccos (1) : 0

- arccos (1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - 0

= 0

Simplifier

arccos (1) : 0

arccos (1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

0 + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Simplifier

Aucune solution pour x \in R

Réunir les intervalles

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

tan(x)< pi/2

tan (x) < \frac{π}{2}

cos(x-1)>= 0

cos (x - 1) \geq 0

sin(θ)<0,sec(θ)>0

sin (θ) < 0, sec (θ) > 0

-pi/(12)sin^2(pi/(12)t)<0

- \frac{π}{12} sin^{2} (\frac{π}{12} t) < 0

12cos(2x)>0

12 cos (2 x) > 0