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Popolare Trigonometria >

(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)>= 0

Soluzione

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

Soluzione

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn]

Decimale

2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.18879 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

Sia:

u = cos (x)

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

Riscrivere in forma standard

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

Espandi

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) : u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

(u - 1) (u + \frac{1}{2})

Applicare il metodo FOIL:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = u, b = - 1, c = u, d = \frac{1}{2}

= uu + u \frac{1}{2} + (- 1) u + (- 1) \frac{1}{2}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

Semplifica

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2} : u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u = - \frac{1}{2} u

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (\frac{1}{2} - 1)

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1 \cdot 2}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

1 - 1 \cdot 2 = - 1

1 - 1 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= 1 - 2

Sottrai i numeri:

1 - 2 = - 1

= - 1

= \frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} u

= uu - \frac{1}{2} u - 1 \cdot \frac{1}{2}

uu = u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

Moltiplicare:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2} \geq 0

Moltiplica entrambi i lati per

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} u \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \geq 0 \cdot 2

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

Fattorizza

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} - u - 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 2,

controllare se

u + v = - 1

Verifica

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VeroVerifica

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u + 1)

Fattorizza

- 1

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u + 1) (u - 1)

Trova i segni di

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

Unire gli intervalli sovrapposti

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u < - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{1}{2}

u = 1

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

u > 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) \leq - \frac{1}{2} or cos (x) \geq 1

cos (x) \leq - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

Per

cos (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Semplificare

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Semplificare

2 π - \frac{2 π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Aggiungi elementi simili:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

cos (x) \geq 1

Per

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (1) + 2 πn \leq x \leq arccos (1) + 2 πn

Semplificare

- arccos (1) : 0

- arccos (1)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - 0

= 0

Semplificare

arccos (1) : 0

arccos (1)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

0 + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Semplificare

Nessuna soluzione per x \in R

Combina gli intervalli

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn or Falso per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

Esempi popolari

tan(x)< pi/2

cos(x-1)>= 0

sin(θ)<0,sec(θ)>0

-pi/(12)sin^2(pi/(12)t)<0

12cos(2x)>0