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Popular Trigonometria >

cos(x)>sin^2(x)-cos^2(x)

Solução

cos (x) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Solução

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Notação de intervalo

(- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn)

Decimal

- 1.04719 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn

Passos da solução

cos (x) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Subtrair

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

de ambos os lados

cos (x) - (sin^{2} (x) - cos^{2} (x)) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

cos (x) - (sin^{2} (x) - cos^{2} (x)) > 0

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

cos (x) - (1 - cos^{2} (x) - cos^{2} (x)) > 0

Simplificar

cos (x) - 1 + 2 cos^{2} (x) > 0

Sea:

u = cos (x)

u - 1 + 2 u^{2} > 0

u - 1 + 2 u^{2} > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u - 1 + 2 u^{2} > 0

Fatorar

u - 1 + 2 u^{2} : (2 u - 1) (u + 1)

u - 1 + 2 u^{2}

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + u - 1

Fatorar a expressão

2 u^{2} + u - 1

Definição

Fatores de

2 : 1, 2

2

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Adicione 1

1

Divisores de

2

1, 2

Fatores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2

Para cada dois fatores tais que

u * v = - 2,

verifique se

u + v = 1

Verifique

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Verdadeiro

u = 2, v = - 1

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Fatorar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Fatorar o termo comum

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(2 u - 1) (u + 1)

Encontre os sinais de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Resumir em uma tabela:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) < - 1 or cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < - 1 :

Falso para todo

x \in R

cos (x) < - 1

Imagem de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Considere

y = cos (x)

Combinar os intervalos

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Falso para todo x \in R

cos (x) > \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2}

Para

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Combinar os intervalos

Falso para todo x \in R or - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Exemplos populares

cos(y)<0

cos (y) < 0

cos(x)-1>= 2

cos (x) - 1 \geq 2

cos(x)-1>= 1

cos (x) - 1 \geq 1

solvefor x, 1/(sin(x))-4<0

so l v e f or x, \frac{1}{sin ( x )} - 4 < 0

1+cos(x)+sin(x)>0

1 + cos (x) + sin (x) > 0