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Popolare Trigonometria >

cos(x)>sin^2(x)-cos^2(x)

Soluzione

cos (x) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Soluzione

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn)

Decimale

- 1.04719 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

cos (x) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Sottrarre

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

da entrambi i lati

cos (x) - (sin^{2} (x) - cos^{2} (x)) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

cos (x) - (sin^{2} (x) - cos^{2} (x)) > 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

cos (x) - (1 - cos^{2} (x) - cos^{2} (x)) > 0

Semplificare

cos (x) - 1 + 2 cos^{2} (x) > 0

Sia:

u = cos (x)

u - 1 + 2 u^{2} > 0

u - 1 + 2 u^{2} > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u - 1 + 2 u^{2} > 0

Fattorizza

u - 1 + 2 u^{2} : (2 u - 1) (u + 1)

u - 1 + 2 u^{2}

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + u - 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} + u - 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 2,

controllare se

u + v = 1

Verifica

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Vero

u = 2, v = - 1

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (u + 1)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

u > - 1

u > - 1

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) < - 1 or cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < - 1 :

Falso per tutti

x \in R

cos (x) < - 1

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

cos (x) > \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2}

Per

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Semplificare

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

Falso per tutti x \in R or - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Esempi popolari

cos(y)<0

cos(x)-1>= 2

cos(x)-1>= 1

solvefor x, 1/(sin(x))-4<0

1+cos(x)+sin(x)>0